Геометрический метод решения игры 2х2.

Решение матричных игр 2х2 в смешанных стратегиях и моделирование результатов

Краткая теоретическая справка

Если матричная игра не имеет седловой точки, то решение находят в смешанных стратегиях.

Смешанной стратегией игрока называется вектор Х(p₁, p₂, …, p_m), координатами которого являются вероятности (относительные частоты) использования игроком своих чистых стратегий. Так как события, заключающиеся в выборе игроком своих чистых стратегий образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна 1, т.е.:

p₁ + p₂ + … + p_m = 1.

Рассмотрим матричную игру 2х2, которая задана платежной матрицей:

.

Если эта игра не имеет седловой точки, то ее решение составляет пара оптимальных стратегий Х*(p₁, p₂) и Y*(q₁, q₂). Причем использование игроком А своей оптимальной стратегии гарантирует ему получение среднего выигрыша не меньшего, чем цена игры n. При этом, если игрок В использует свою оптимальную стратегию, то средний выигрыш игрока будет равен n, если игрок В не использует свою оптимальную стратегию, то средний выигрыш игрока А будет больше n.

Записанное выше положение имеет вероятностный смысл, т.е. средний выигрыш будет тем ближе к n, чем больше партий сыграют игроки: средний выигрыш стремится к n по вероятности (другими словами, средний выигрыш будет не точно равен n, а примерно равен и чем больше партий, тем меньше отклонение). Кроме того, определение смешанной стратегии требует выбирать чистые стратегии игроками случайно в соответствии с вероятностями (относительными частотами) их использования (условие секретности выбора чистой стратегии).

Для решения матричных игр 2х2 можно использовать аналитический и геометрический методы.

Аналитический метод решения игры 2х2.

Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока А: Х*(p₁, p₂) и соответствующую цену игры n, необходимо решить систему уравнений:

(1)

Первое уравнение определяет математическое ожидание выигрыша игрока А при использовании им стратегии Х*(p₁, p₂) против стратегии В₁; второе уравнение определяет математическое ожидание выигрыша игрока А при использовании им стратегии Х*(p₁, p₂) против стратегии В₂; третье уравнение – свойство компонентов смешанной стратегии игрока.

Аналогично для игрока В. Чтобы найти оптимальную смешанную стратегию игрока В: Y*(q₁, q₂) и соответствующую цену игры n, необходимо решить систему уравнений:

(2)

Цена игры n общая для обоих игроков, поэтому при решении систем уравнений (1) и (2) должно получиться одинаковое значение n.

Геометрический метод решения игры 2х2.

В точках х = 0, х = 1 оси О х восстановим перпендикуляры и обозначим их А₁ и А₂ – в соответствии со стратегиями игрока А (см. рис 1).

Рис. 1. Графическая интерпретация матричной игры 2х2 для игрока А.

Изобразим стратегию В₁. На прямой А₁ отложим а₁₁, а на прямой А₂ отложим а₂₁. Соединим эти точки и получим прямую В₁В₁ (см. рис. 1). Аналогично изобразим стратегию В₂, отложив на прямой А₁ значение а₁₂, а на прямой А₂ значение а₂₂.

Каждой точке на отрезке [0; 1] соответствует смешанная стратегия игрока А, причем р₂ – расстояние от этой точки до нуля, а р₁ – расстояние от этой точки до точки 1 (см. рис. 1).

Ломанная В₂МВ₁ (на рисунке 1 выделена полужирно) определяет минимальные возможные средние выигрыши игрока А при использовании им своих смешанных стратегий. Точка М (самая высокая точка ломанной) – определяет наилучший средний выигрыш игрока А из всех минимальных. Она соответствует оптимальной смешанной стратегии игрока А. При этом:

если М (х, у), то р₁ = 1 – х, р₂ = х, n = y.

Таким образом, задача сводится к нахождению координат точки М, которая является точкой пересечения прямых В₁В₁ и В₂В₂. Для нахождения уравнений прямых В₁В₁ и В₂В₂.можно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки:

,

с учетом того, что прямую В₁В₁ определяют точки В₁(0; a₁₁), В₁(1; а₂₁), а прямую В₂В₂ определяют точки В₂(0; a₁₂), В₂(1; а₂₂).

Для игрока В оптимальная смешанная стратегия находится аналогично, но точка М определяется не самой высокой точкой нижней ломанной, а самой низкой точкой высокой ломанной – полужирная ломанная на рисунке 2.

Рис. 2. Графическая интерпретация матричной игры 2х2 для игрока В.

Найдя координаты точки М (х, у), как точки пересечения прямых А₁А₁ и А₂А₂, компоненты оптимальной смешанной стратегии игрока В и цену игры: Y*(q 1, q 2), n можно найти по следующим формулам:

q₁ = 1 – x, q₂ = x, n = y.