Многогранник.
Выпуклый многогранник. Правильные многогранники.
I. 
Многогранник. Основные понятия.
Многогранник — это геометрическое тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.
Многоугольники, ограничивающие многогранник, называются его гранями. Грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Стороны граней называются ребрами многогранника, а вершины — вершинами многогранника.
Рис.1
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани. В остальных случаях многогранник называется невыпуклым (рис.2).
а) б)
Рис. 2
 | |||
 |
II. Правильные многогранники.
Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же количеством сторон, а в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных выпуклых многогранников (рис. 20): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Теорема Эйлера.
В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер.
Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно m, а гранями являются правильные n-угольники.
Выразим входящие в формулу Эйлера величины В (вершины) и Г (грани) через:
Р (рёбра), m, n, где n и m — целые числа, и m≥3, n= 3, 4 или 5.
По формуле Эйлера Г + В − Р =2.
Доказано существование правильных многогранников:
У правильного тетраэдра грани — правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр — треугольная пирамида, все ребра которой равны.
У тетраэдра 4 грани, 6 рёбер и 4 вершины:
У куба все грани — квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб — прямоугольный параллелепипед с одинаковыми ребрами.
У куба 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин:
У октаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.
У октаэдра 8 граней, 12 рёбер и 6 вершин:
У додекаэдра грани — правильные пятиугольники. В каждой вершине его сходится по три ребра.
У додекаэдра 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин:
У икосаэдра грани — правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра и октаэдра в каждой вершине сходится по пять ребер.
У икосаэдра 20 граней, 30 рёбер и 12 вершин:
Таким образом, теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:
1. m=3,n=3,P=6, Г =4 — тетраэдр;
2. m=3,n=4,P=12, Г =6 — куб;
3. m=3,n=5,P=30, Г =12 — додекаэдр;
4. m=4,n=3,P=12, Г =8 — октаэдр;
5. m=5,n=3,P=30, Г =20 — икосаэдр.
III. Платоновы тела (историческая справка)
Именем Древнегреческого ученого - Платона названа группа из пяти геометрических тел. Пять многогранников, которые математики называют - правильные, чаще всего называют Платоновыми телами, которые были известны задолго до времени Платона. Платон же писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. По поводу пятого элемента, додекаэдра, он сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».
Таким образом Платон наделил эти простые предметы невероятной силой, мистическим смыслом и возвел на вершину своего учения.
В попытке объяснить природу всего сущего древнегреческий философ посчитал пять правильных многогранников первоосновами для строения каждой из стихий:
огонь – соотносился с тетраэдром;
воздух – соотносился с октаэдром;
земля – соотносилась с гексаэдром;
вода – соотносилась с икосаэдром;
додекаэдр – соответствовал Вселенной.
Летописцы тех времен всё подробно записали и, в результате, получился целый научный трактат, как для современников Платона, так и для всех последующих поколений.
IV. Упражнения.
1. Изучить материал, законспектировать п. I и II (с рисунками).
2. По рисунку определить, какие из многогранников являются выпуклыми, а какие не выпуклыми.
3. Сделать модель правильного тетраэдра и куба, подписать, подписанной стороной сфотографировать и сохранить для дальнейшей работы с моделями.