У=а*х предшествует процедура линеаризации переменных. Линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:
Lg y=lg a+b* lg x;
Y=C+b*X где
Y=lg y.,C= lg a., X= lg x
Табл.№3
| № п/п | Y | X | YX | Y² | X² | ŷx | yi-ŷx | (yi-ŷx)² | Ai |
| 1,86 | 1,67 | 3,1062 | 3,4596 | 2,7889 | 68,61 | 4,19 | 17,6 | 5,76 | |
| 1,80 | 1,77 | 3,186 | 3,24 | 3,1329 | 60,24 | 2,96 | 8,76 | 4,68 | |
| 1,79 | 1,70 | 3,043 | 3,2041 | 2,89 | 66,17 | -4,27 | 18,23 | 6,90 | |
| 1,77 | 1,80 | 3,186 | 3,1329 | 3,24 | 57,72 | 0,98 | 0,96 | 1,67 | |
| 1,76 | 1,78 | 3,1328 | 3,0976 | 3,1684 | 59,33 | -2,33 | 5,43 | 4,09 | |
| Итого | 8,98 | 8,72 | 15,654 | 16,134 | 15,22 | 50,98 | 23,1 | ||
| Сред.знач | 1,796 | 1,744 | 3,1308 | 3,22 | 3,044 | 10,196 | 4,62 | ||
| σ | 0,3010 | 0,05 | |||||||
| σ² | 0,0906 | 0,0025 |
Рассчитаем σ:
σ²x= n ∑(хi-х)²=3,044-1,744²=0,0025
σy²= n ∑(yi-y)²=3,22-1,769²=0,0906
вычислим значения С и b по формуле:
b= yx-y∙x =(3,1308-1,796*1,744)/0,0025= -0,5696
 |
σ²x
С=Y-b∙X=1,796+0,5696*1,744=2,7894
Получим линейное уравнение Ỹ=2,7894-0,5696*Х, после потенцирования
2,7894 -0,5696 -0,5696
получим: ŷ=10 *х =615,7 *х
Подставляя в данное уравнение фактические значения х, получаем теоритические значения результата ŷx. По ним рассчитываем показатели: тесноты связи – индекс корреляции ρxy и среднюю ошибку аппроксимации Аi
2,7894
Ŷ1=10 *47,1=68,61
2,7894
Ŷ2=10 *59,2=60,24
2,7894
Ŷ3=10 *50,2=66,17
2,7894
Ŷ4=10 *63,8=57,72
2,7894
Ŷ5=10 *60,8=59,33 далее рассчитаем Аi
l (yi-ỹхi)
А= n ∑ Аi = уi ∙100%
А1=4,19/72,8*100%=5,76%
А2=2,96/63,2*100%=4,68%
А3=4,27/61,9*100%=6,90%
А4=0,98/58,7*100%=1,67%
А5=2,33/57,0*100%=4,09%
ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√ l-10,196/30,2776=0,81
определим коэффициент по формуле детерминации:
r²xy=(Pxy)²=(0,81)²=0,6561
Аi=4,62%
Характеристика степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ
Построению уравнения показательной кривой у=а ·bx предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:
Lg y=lg a+x*lgb
Y=C+Bx где,
Y=lg y., C=lg a., B=lgb
Табл.№4
| № п/п | Y | X | YX | Y² | X² | ŷx | yi-ŷx | (yi-ŷx)² | Ai |
| 1,86 | 47,1 | 87,606 | 3,4596 | 221,41 | 67,96 | 4,84 | 23,42 | 6,65 | |
| 1,80 | 59,2 | 106,56 | 3,24 | 3504,64 | 60,18 | 3,02 | 9,12 | 4,77 | |
| 1,79 | 50,2 | 89,858 | 3,2041 | 2520,04 | 65,87 | -3,97 | 15,76 | 6,41 | |
| 1,77 | 63,8 | 112,926 | 3,1329 | 4070,44 | 57,45 | 1,25 | 1,56 | 2,12 | |
| 1,76 | 60,8 | 107,008 | 3,0976 | 3696,64 | 59,22 | -2,22 | 4,92 | 3,89 | |
| Итого | 8,98 | 281,1 | 503,958 | 16,1342 | 16010,17 | 310,68 | 2,92 | 54,78 | 23,84 |
| Сред.знач | 1,796 | 56,22 | 100,7916 | 3,2268 | 3202,034 | 4,77 | |||
| σ | 0,037 | 6,4 | |||||||
| σ² | 0,0012 | 41,34 |
Значения параметров регрессии А. и В составили:
 | | |
b= Υ·x - Υ· x =(100,7916-1,796*56,22)/41,34=-0,0043
σ²x
 |
А=Υ-В * х=1,796+0,0043*56,22=2,0378
Получено линейное уравнение: Ỹ=2,0378-0,0043* х далее, исходя из этого уравнения произведем потенцирование и запишем его в обычной форме
2,0378 -0,0043 * х х
ŷ =10 *10 =109,1*0,99
47,1
ŷ1=109,1*0,99 =67,96
59,2
ŷ2=109,1*0,99 =60,18
50,2
ŷ3=109,1*0,99 =65,87
63,8
ŷ4=109,1*0,99 =57,45
60,8
ŷ5=109,1*0,99 =59,22
рассчитаем Аi
l (yi-ỹхi)
А= n ∑ Аi = уi ∙100%
А1=4,84/72,8*100%=6,65%
А2=3,02/63,2*100%=4,77%
А3= 3,97/61,9*100%=6,41%
А4=1,25/58,7*100%=2, 12%
А5=|2,22/57,0*100%=3,89%
Аi=4,77%
Тесноту связи оцениваем через индекс корреляции:
ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-10,95/30,2776=0,8
Связь умеренная, но немного хуже чем в предыдущем случае.
Коэффициент детерминации: r²xy=(Pxy)²=(0,8)²=0,64.
Аi=4,77%. Показательная функция чуть хуже, чем степенная- она описывает изучаемую зависимость.
РЕГРЕССИВНАЯ МОДЕЛЬ РАВНОСТОРОННЕЙ ГИПЕРБОЛЫ.
Уравнение равносторонней гиперболы у=а+b х линеаризуется при замене
Z= х, тогда уравнение равносторонней гиперболы принимает следующий вид: у=а+b*z
Табл.№5
| № п/п | Y | X | YX | Y² | X² | ŷx | yi-ŷx | (yi-ŷx)² | Ai |
| 72,8 | 0,021 | 1,52 | 0,000441 | 5299,84 | 67,63 | 5,17 | 26,72 | 7,1 | |
| 63,2 | 0,017 | 1,07 | 0,000289 | 3994,24 | 61,85 | 1,35 | 1,82 | 2,14 | |
| 61,9 | 0,019 | 1,17 | 0,000361 | 3831,61 | 64,74 | -2,84 | 8,06 | 4,58 | |
| 58,7 | 0,015 | 0,88 | 0,000225 | 3445,69 | 58,95 | -0,25 | 0,06 | 0,42 | |
| 57,0 | 0,016 | 0,91 | 0,000256 | 60,40 | -3,4 | 11,56 | 5,96 | ||
| Итого | 313,6 | 0,009 | 5,55 | 0,001572 | 19820,38 | 313,6 | 0,03 | 48,22 | 20,2 |
| Сред знач | 62,72 | 0,018 | 1,11 | 0,000314 | 3964,076 | 9,644 | 4,04 | ||
| σ | 5,5 | 0,0021 | |||||||
| σ² | 30,28 | 0,00000424 |
σy²= n ∑(yi – y)²= 3964,076 - 62,72²=30,2776
σ²z= 0,000314 – 0,0176²=0,00000424
значения параметров регрессии а и b составили:
b= y·z - y · z =(1,11-62,72*0,0176)/0,00000424 = 1445,28
σ²z
а=y - b * z = 62,72-1445,28*0,0176=37,28, получено уравнение
ŷ=37,28+1445,28* z
ŷ1=37,28+1445,28*0,021=67,63
ŷ2=37,28=1445,28*0,017=61,85
ŷ3=37,28=1445,28*0,019=64,74
ŷ4=37,28=1445,28*0,015=58,95
ŷ5=37,28=1445,28*0,016=60,40
Индекс корреляции: ρxy=√ l-(∑(yi-ŷх) ² ∕ (∑(y-yср)²=√l-9,644/30,2776=0,8256
Связь тесная, но хуже чем в предыдущих моделях.
r²xy=(Pxy)²=(0,82)²=0,6816
|
А=4,04%, т.е остается на допустимом уровне.
P²xy n-m-l 0,6816 0,6561
Fфакт= l-P²xy * m = l- 0,6816 *3 = 0,3184 *3 =6,18
Т.к Fтабл.α=0,05 =10,13 следовательно Fфакт< Fтабл отсюда следует, что гипотеза Но принимается. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении проанализируем полученные в курсовой работе результаты исследований и выберем рабочую модель.
Экономический анализ моделей, по результатам исследования получил следующие значения:
Коэффициент парной корреляции rxy= 0,79 у линейной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,81 у степенной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,80 у показательной модели;
Индекса корреляции Pxy =0,82 у модели равносторонней гиперболы.
Данные индексы показывают, что связь у(х) (среднесуточная производительность труда от стоимости основных производственных фондов) прямая, тесная, высокая.
С экономической точки зрения, все модели достаточно хороши, т.е у всех моделей при увеличении расходов на подготовку и освоение производства – производительность труда увеличивается. Это значит что на данных предприятиях есть резервы для расширения производства, резервы для введения новых технологий с целью увеличения прибыли.
Руководствуясь целью курсовой работы можно сделать вывод, что из всех рассмотренных моделей линейная модель лучше всех отражает экономический смысл. А теперь сравним регрессивные модели по средней ошибке аппроксимации А,которая показывает, на сколько фактические значения отличаются от теоретических рассчитанных по уравнению регрессии т.е у и ŷx:
У линейной модели А1=4,7%;
У степенной модели А2=4,62%;
У показательной модели А3=4,77%;
У равносторонней гиперболы А4=4,04%.
Средняя ошибка аппроксимации А1, А2, А3, А4 находятся в допустимом пределе.
Вывод: чем меньше это отличие, тем ближе теоретические значения подходят к эмпирическим данным (лучшее качество модели). По расчетным данным моей работы показательная модель имеет лучшее качество. Сравнивая регрессивные модели по коэффициенту детерминации r²xy линейной, степенной. Показательной и равносторонней гиперболы видим, что статистические характеристики модели равносторонней гиперболы превосходят аналогичные характеристика других моделей, а именно: коэффициент детерминации у линейной модели равен 0,62; у степенной 0,6561; у показательной 0,64 и у равносторонней гиперболы 0,6816. Это означает, что факторы, вошедшие в модель равносторонней гиперболы. Объясняют изменение производительности труда на 68,16%, тогда как факторы, вошедшие в линейную модель на 62%, в показательную на 64% и в степенную на 65,61%, следовательно, значения, полученные с помощью коэффициента детерминации модели равносторонней гиперболы более близки к фактическим. На основании этого, модель равносторонней гиперболы выбирается за рабочую модель в данном примере.
Список используемой литературы:
1) А.М.Беренская – Курс лекций по теме «Математическое моделирование»
2) М.Ш.Кремер –«Исследование операций в эконометрике»
3) И.И.Елисеева - «Практикум по эконометрике»
4) И.И.Елисеева - «Эконометрика»