Пирамида, формула вычисления объёма пирамиды
Вычислить объём тела – это значит сравнить его с эталоном, например с кубическим сантиметром. Сравнение происходит с помощью формул.
Пирамида – это геометрическая фигура, которая состоит из многоугольника, точки, не лежащей в плоскости многоугольника и всех отрезков, соединяющих эту точку с точками многоугольника.
На рисунке 1 изображена пирамида SABCD. Точка S не лежит в плоскости основания (многоугольника ABCD) и соединена с вершинами многоугольника. Перпендикуляр SH – высота пирамиды.
Рис. 1. Пирамида
Формула для вычисления объёма пирамиды:
, где S – площадь основания пирамиды (ABCD), h – высота пирамиды (
)
Если плоскость 
, тогда вершину S можно двигать по плоскости β в любом направлении, объём пирамиды при этом не изменится. Фигуры, у которых одинаковые объёмы, называются равновеликими. То есть пирамиды SABCD и 
равновеликие.
Призма, формула вычисления объёма призмы
Призма – это многогранник, основаниями которого являются равные многоугольники, а боковыми гранями – параллелограммы.
На рисунке 2 изображена наклонная призма. Многогранники 
и 
в основаниях лежат в параллельных плоскостях, равны и расположены так, что боковые рёбра (
) между собой параллельны.
Рис. 2. Наклонная призма
Формула для вычисления объёма призмы:
, где S – площадь основания ( или ), h – высота между основаниями, которая получается при опускании перпендикуляра из любой точки основания на плоскость, в которой лежит другое основание этой призмы (
).
Если мы рассмотрим пирамиду 
, то её объём будет равен:
, где V – объём призмы 
Задача 1 (нахождение объёма пирамиды)
Дано: 
– треугольная призма; 
– объём призмы; 
– секущая плоскость (рис. 3).
Найти: 1. 
– объём пирамиды 
; 2. 
– объём фигуры над секущей плоскостью; 3. 
– объём пирамиды 
; 4. 
– объём пирамиды 
Решение:
1. Найдём объём пирамиды :
, где 
– объём призмы
Так как , то
Рис. 3. Иллюстрация к задаче
2. Для нахождения объёма верхней части из общего объёма вычтем объём нижней части, то есть объём пирамиды :
3. Найдём объёмпирамиды и . Для этого рассмотрим боковую грань призмы 
.Это параллелограмм, следовательно, площадь треугольника 
равна площади треугольника 
. А так как эти треугольники являются основаниями пирамид и , то такие пирамиды равновеликие, то есть их объёмы равны и в сумме дают объём верхней части 
.
Ответ: 1. ; 2. 
; 3. 
; 4. 
Задача 2 (нахождение объёма многогранника с помощью формулы объёма пирамиды)
Дана правильная треугольная призма (рис. 4), площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 8. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки 
.
Дано: 
; 
; 
; 
– секущая плоскость.
Найти: 
Решение:
Секущая плоскость делит призму на две фигуры.
1. Найдём объём призмы .
, 
– площадь основания призмы, 
– высота призмы
Рис. 4. Иллюстрация к задаче
2. Найдём объём пирамиды 
, то есть части призмы, находящейся над секущей плоскостью 
.
, где 
– основание пирамиды, 
– высота пирамиды
3. Искомый нами объём – это объём фигуры 
, которая находится под секущей плоскостью , следовательно, её объём равен:
Ответ: 
Задача 3 (нахождение объёма пирамиды)
Стороны оснований правильной усечённой треугольной пирамиды равны 
и 
, высота пирамиды равна 4. Найти объём данной пирамиды.
Дано: 
; 
; 
(рис. 5).
Найти: 
Решение:
Вспомним формулу вычисления объёма усечённой пирамиды:
1. 
, где 
– высота усечённой пирамиды, 
– площадь нижнего основания (
), 
– площадь верхнего основания (
).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче
2. Дана правильная усечённая пирамида, следовательно, в основаниях лежат равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника равна:
, где a – длина стороны треугольника
Площадь нижнего основания:
Площадь верхнего основания:
3. Подставляем известные значения в формулу объёма усечённой пирамиды:
Ответ: 