Аппарат дифференциальных уравнений в экономике
Мы рассмотрим некоторые примеры применения теории дифференциальных уравнений в непрерывных моделях экономики, где независимой переменной является время t. Такие модели достаточно эффективны при исследовании эволюции экономических систем на длительных интервалах времени; они являются предметом исследования экономической динамики.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Модель естественного роста выпуска
Будем полагать, что некоторая продукция продается по фиксированной цене Р. Обозначим через Q(t) количество продукции, реализованной на момент времени t; тогда на этот момент времени получен доход, равный PQ(t). Пусть часть указанного дохода расходуется на инвестиции в производство реализуемой продукции, т.е.
где m — норма инвестиции — постоянное число, причем 0 < т < 1.
Если исходить из предположения о ненасыщаемости рынка (или о полной реализации производимой продукции), то в результате расширения производства будет получен прирост дохода, часть которого опять будет использована для расширения выпуска продукции. Это приведет к росту скорости выпуска (акселерации), причем скорость выпуска пропорциональна увеличению инвестиций, т.е.
где 1/l — норма акселерации. Подставив в (11.2) формулу (11.1), получим
Дифференциальное уравнение (11.3) представляет собой уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Общее решение этого уравнения имеет вид
где С — произвольная постоянная. Пусть в начальный момент времени t = t0 зафиксирован (задан) объем выпуска продукции Q0. Тогда из этого условия можно выразить постоянную С: Q0 = С 
, откуда С = Q0 
. Отсюда получаем частное решение уравнения (11.3) — решение задачи Коши для этого уравнения:
Заметим, что математические модели обладают свойством общности. Так, из результатов биологических опытов следует, что процесс размножения бактерий также описывается уравнением (11.3). Процесс радиоактивного распада подчиняется закономерности, установленной формулой (11.4).
Рост выпуска в условиях конкуренции
В этой модели мы снимем предположение о ненасыщаемости рынка. Пусть Р = Р(Q) — убывающая функция, т.е. с увеличением объема продукции на рынке цена на нее падает: dP/dQ < 0. Теперь из формул (11.1)-(11.3) мы получаем нелинейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно Q с разделяющимися переменными:
Поскольку все сомножители в правой части этого уравнения положительны, то Q' > 0, т.е. функция Q(t) возрастающая.
Характер возрастания функции определяется ее второй производной. Из уравнения (11.5) получаем
Это равенство можно преобразовать, введя эластичность спроса
или, так как 
< 0, а значит, и Е < 0, окончательно получаем
Из уравнения (11.6) следует, что Q" > 0 при эластичном спросе, т.е. когда |Е| > 1, и график функции Q(t) имеет направление выпуклости вниз, что означает прогрессирующий рост. При неэластичном спросе |Е| < 1, и в этом случае Q" < 0 — направление выпуклости функции Q(t) вверх, что означает замедленный рост (насыщение).
Для простоты примем зависимость P(Q) в виде линейной функции
(рис. 11.1). Тогда уравнение (11.5) имеет вид
откуда
Из соотношений (11.7) и (11.8) получаем: Q' = 0 при Q = 0 и при Q = а/b, Q" > 0 при Q < а /(2b) и Q" < 0 при Q > а/(2b); Q = a/(2b) — точка перегиба графика функции Q = Q(t). Приведенный на рис. 11.2 график этой функции (одной из интегральных кривых дифференциального уравнения (11.7)) носит название логистической кривой.
Аналогичные кривые характеризуют и другие процессы, например размножение бактерий в ограниченной среде обитания, динамику эпидемий внутри ограниченной общности биологических организмов и др.