ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ РОССИИ
ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
МИАССКИЙ ФИЛИАЛ
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ
Бережко Л.Н
МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Для студентов ЭТФ заочной формы обучения
По выполнению задания №1
«Точка, прямая, плоскость»
(курс начертательной геометрии)
Миасс,2016
ВВЕДЕНИЕ
В данном задании задачи решаются с использованием метода замены плоскостей проекций. Суть метода замены плоскостей проекций и принципы решения задач этим методом подробно разобраны в методическом пособии «Решение метрических задач методом замены плоскостей проекций».
.
ПОДГОТОВКА ИСХОДНЫХ ДАННЫХ
Даны координаты точек А, В, С, К, L, M.
Точки в задаче заданы с помощью координат, а решение задачи проводится в ортогональных проекциях. Следовательно, чтобы приступить к решению задачи надо построить проекции точек по координатам, затем создать из них треугольник АВС и параллелограмм KLMN.
Для построения проекций точек надо знать взаимосвязь между проекциями точки и ее координатами.
Горизонтальная проекция точки определяется координатами X и Y.
Фронтальная проекция точки определяется координатами X и Z.
Например: точка А задана координатами (20, 5, 30),где X =20, Y=5, Z=30. Зададим оси координат X, Y, Z. Построим проекции точки А (рис.1).
Так как в задании необходимо работать с плоскостями, то из точек создадим эти плоскости. Для этого необходимо соединить точки АВС, то есть на чертеже соединить одноименные проекции точек АВС и получить проекции треугольника АВС (рис.2).
Для создания параллелограмма KLMN по трем точкам надо вспомнить свойство сторон параллелограмма, а именно: противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. Это свойство распространяется и на проекции параллелограмма: проекции противоположных сторон равны и параллельны.
На рисунке 3 проведены все эти построения.
В контрольной работе нужно решить 3 задачи:
Задача №1 – построить проекции линии пересечения треугольника АВС и параллелограмма KLMN.
Задача №2 – построить геометрическое место точек, удаленных от плоскости параллелограмма KLMN на расстоянии 40 мм и по площади в 2 раз меньше.
Задача №3 – построить натуральную величину высоты параллелограмма KLMN.
При решении задачи №1 необходимо строить треугольник и параллелограмм.
При решении задач №2 и 3 нужен только параллелограмм.
Разберем решение вышеперечисленные задачи в частном виде.
Задача №1
Построение линии пересечения двух плоскостей значительно упрощается, если одна из плоскостей является проецирующей, т.е. перпендикулярной одной из плоскостей проекций. Проецирующие плоскости проецируются в прямую на плоскость проекций, которой они перпендикулярны. Следовательно, любая прямая, принадлежащая плоскости, проецируется в ту же прямую, что и плоскость.
Исходя из этого, можно утверждать, что если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая, то одна проекция линии пересечения известна – она совпадает с прямой, в которую проецируется плоскость.
В задании необходимо построить проекции линии пересечения плоскости треугольника и плоскости параллелограмма. Если параллелограмм проецируется на плоскость проекций в прямую, то вторую проекцию линии пересечения определим из условия принадлежности ее плоскости треугольника (рис.1).
Рис.1
Задача №2
В этой задаче надо построить геометрическое место точек, равноудаленных от плоскости параллелограмма на расстоянии 40 мм, причем площадь его в два раза меньше площади параллелограмма. Прежде надо отметить, что это геометрическое место точек есть плоскость, удаленная от параллелограмма на расстоянии 40 мм и параллельная ему, а т.к. площадь его в два раза меньше площади параллелограмма, то это треугольник, две стороны, которого равны и параллельны сторонам параллелограмма.
Для решения этой задачи надо найти точку в пространстве, удаленную от параллелограмма на расстоянии 40 мм, а затем в ней строить плоскость треугольника. Расстояние от плоскости откладывают по перпендикуляру. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна горизонтали и фронтали плоскости. Если плоскость проецирующая, то перпендикуляр к плоскости провести просто, т.к. одна из главных линий плоскости есть прямая проецирующая, а сам перпендикуляр есть прямая уровня. Следовательно:
1) одна проекция его перпендикулярна прямой, в которую проецируется плоскость, а другая проекция параллельна оси Х;
2) т.к. перпендикуляр есть прямая уровня, то по нему можно откладывать расстояния (рис.3).
Когда точка найдена, в ней строят плоскость треугольника, стороны которого равны и параллельны сторонам параллелограмма (рис.4).
Задача №3
Построение натуральной величины параллелограмма проводится просто, если есть натуральная величина самого параллелограмма. Параллелограмм проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости. В этом случае параллелограмм на вторую плоскость проекций проецируется в прямую, т.к. он ей перпендикулярен, и эта прямая располагается параллельно оси Х (рис.5).
Выводы
Решение разобранных задач показывает, что оно проводится просто, если плоскость занимает частное положение, а именно проецирующее. В задании плоскости заданы в общем виде, т.е. плоскости общего положения. Метод замены плоскостей проекций позволяет преобразовать исходные данные, т.е. свести решение задач к частному виду.
Так как в задачах решение необходимо проводить относительно плоскости параллелограмма (в 1 задаче – линия пересечения плоскостей, во 2 задаче – ортогональная проекция на плоскость параллелограмма, в 3 задаче – плоскость, параллельная параллелограмму, в 4 задаче – высота параллелограмма), то надо преобразовать параллелограмм общего положения в проецирующий для первых трех задач и далее в параллелограмм уровня для решения последней задачи. Исходя из этого, решение можно проводить на одном чертеже. Для простоты объяснения в методическом пособии разберем выполнение задач на отдельных чертежах.
Задача №1 по построению линии пересечения плоскостей
Для решения этой задачи преобразуем плоскость параллелограмма в проецирующую. Для этого проведем в параллелограмме главную линию – горизонталь или фронталь. Выбор линии определяется заданным чертежом и наличием вокруг него свободного пространства. В примере удобно построить горизонталь.
Выбираем ось проекций Х перпендикулярно главной линии параллелограмма (в примере – горизонтали). Получили новую систему плоскостей проекций П1-П4.
Строим в системе П1-П4 параллелограмм и треугольник, используя для этого координаты Z точек. Если построения проведены верно, то параллелограмм спроецируется в прямую на плоскость П4. Далее проводим решение задачи в частном виде в системе плоскостей проекций П1-П4.
Для того чтобы вернуться к исходному чертежу, надо найти проекции точек по принадлежности их сторонам треугольника. Пример решения задачи показан на рисунке 6.
