ЛЕКЦИЯ 4
ДВЕ ПЛОСКОСТИ.
Две плоскости могут быть параллельны друг к другу или пересекаться между собой.
Параллельные плоскости.
Две плоскости параллельны, если в каждой из них можно построить по две пересекающихся между собой прямые линии так, чтобы прямые одной плоскости были соответственно параллельны прямым другой плоскости.
| |
| Рис.1 | |
Наиболее простой случай – параллельность двух проецирующих плоскостей. Здесь достаточно параллельности следов плоскостей (рис.1).
В случае параллельности плоскостей общего положения необходимо в каждой из них указать по две соответственно параллельные прямые (рис.2). В качестве таких прямых можно взять главные линии плоскости или какие-то другие прямые. 
(АВС)║ 
(а ∩ b)║ 
(d ∩ c).
| 
| 
|
| (АВС)
| а ║h; а 1║h1; а 2║h2
b ║f; b1 ║f1; b2 ║f2
(а ∩ b)
| d║[AB]; d1║[A1B1]; d2║[A2B2]
с║[BC]; с1║[B1C1]; с2║[B2C2];
(d ∩ c)
|
| Рис.2 |
Пересекающиеся плоскости.
Основная задача – построение линии пересечения двух плоскостей, которая вполне определяется двумя точками, принадлежащими обеим плоскостям:
а) проецирующие
Проецирующие плоскости одного наименования, как перпендикулярные к одной и той же плоскости проекций, пересекаются по прямой линии также перпендикулярной к этой плоскости проекций (рис.3). Проецирующие плоскости разных наименований пересекаются по прямой, для которой они будут проецирующими плоскостями (рис.4).
| 
|
| Рис.3 | Рис.4. |
 ∩  = а   ;  ∩  = b 
|  ∩  =n; n1  ; n2
|
б) Наиболее просто решается задача, если одна из пересекающихся плоскостей проецирующая (рис.5). (АВС)∩ =m; m1 
. m – линия пересечения, так как линия пересечения принадлежит и плоскости , то 12 лежат на следе плоскости.
|
|
| 
|
| Рис. 5 |
в) Две плоскости общего положения.
Рассмотрим случай пересечения плоскостей общего положения (рис.6).
|
| Рис.6 |
Три плоскости пересекаются в одной точке, поэтому общий метод построения точек линии пересечения состоит в следующем: две пересекающиеся плоскости пересекаются третьей, вспомогательной плоскостью.
∩ 
=m; 
∩ =n; m1∩n1=K1; K2 
∩ 
= 
; ∩ = 
; ∩ 
=L1;L2 .
Через точки K и L проводим линию пересечения ℓ (рис.7).
|
| Рис.7 |
Некоторого упрощения можно достичь, если вспомогательные плоскости проводить через прямые, задающие плоскости (рис.8). (АВС)∩ (DEF)=[LK].
|
| Рис.8 |
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Возможно следующее взаимное расположение прямой и плоскости:
1. Прямая лежит в плоскости (см. лекции 2).
2. Прямая параллельна плоскости.
3. Прямая пересекает плоскость.
4. Прямая перпендикулярна плоскости.
Прямая параллельная плоскости.
|
| Рис.9 |
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости (рис.9). а ║[АВ], а1 ║[А1В1], а2 ║[А2В2], задача не имеет единственного решения.
Пересечение прямой с плоскостью.
Для определения точки пересечения прямой а с плоскостью общего положения (АВС) необходимо выполнить следующие построения (рис.10):
1. Через данную прямую а провести вспомогательную проецирующую плоскость 
, так как
а , то а .
2. Построить линию пересечения n данной плоскости (АВС) и вспомогательной плоскости . (АВС) ∩ =n; [12] n; [1121] n1; [1222] n2.
|
|
3. Определить точку пересечения К прямой а и заданной плоскости К= а ∩n; К1= а1 ∩n1; К2 а2.
4. Определяем видимость прямой. Для этого рассматриваем конкурирующие точки 1-3 и 4-5. Точка 1 [AB] (АВС); точка 3 а. На горизонтальной плоскости проекций проекции точек 11 и 31 совпадают, а на фронтальной плоскости проекций отрезок 1232 в горизонтальном проецирующем положении. Проекция точки 12 [АВ] (АВС) находится выше проекции 32 а. Таким образом на горизонтальной плоскости проекций отрезок прямой до точки К будет закрыт плоскостью.
|
| Рис.11 |
Рассмотрим конкурирующие точки 4-5; 4 [ВС] (АВС); 5 а. Отрезок [4151] находится во фронтально-проецирующем положении – на фронтальной плоскости проекций превращается в точку. Таким образом, прямая на фронтальной плоскости проекции будет видна до К2, а дальше уходит за плоскость.