Приведение произвольного преобразования к нормальной форме

 

1°. Собственные и присоединенные векторы линейного преобразования.

Пусть – некоторое собственное значение преобразования , т. е. справедливо следующее определение.

Определение 1. Вектор называется собственным вектором преобразования , отвечающим собственному значению , если

, т.е. .

(1)

Рассмотрим совокупность всех векторов, удовлетворяющих условию (1) при фиксированном .Ясно, что совокупность этих векторов является подпространством пространства .

Мы обозначим его . Легко видеть, что инвариантно относительно преобразования (проверьте!).

Заметим, что подпространство состоит из всех собственных векторов преобразования , отвечающих собственному значению , к которым добавлен еще нулевой вектор.

Определение 2. Вектор называется присоединенным вектором первого порядка преобразования , отвечающим собственному значению , если вектор является собственным вектором преобразования .

Пусть – собственное значение преобразования . Рассмотрим подпространство, состоящее из всех векторов , для которых выполнено условие

,

(2)

т.е. ядро преобразования Обозначим это подпространство . Очевидно, что является инвариантным подпространством пространства . В самом деле, пусть , т.е. . Нам надо доказать, что и вектор , т.е. что . Это следует из того, что преобразование перестановочно с , т.е. .

Рассмотрим несколько более подробно структуру пространства . В нем есть векторы двух типов.

Если , т.е. , то тогда и , т.е. . Таким образом, целиком содержится в . Если , но , т.е. , , то – присоединенный вектор первого порядка. Действительно, в этом случае есть собственный вектор.

Таким образом, подпространство получается, если к подпространству добавить присоединенные векторы первого порядка.

Аналогично вводим подпространство , состоящее из всех векторов , для которых

.

(3)

Это подпространство инвариантно относительно преобразования . Ясно, что подпространство содержит предыдущее подпространство .

Определение 3. Вектор называется присоединенным вектором –го порядка, если вектор является присоединенным вектором – го порядка.

По индукции можно показать, что если – присоединенный вектор – го порядка, то , . Другими словами, присоединенным вектором –го порядка называется вектор, принадлежащий и не принадлежащий .

Пример. Пусть пространство многочленов степени и преобразование – дифференцирование: . Легко видеть, что есть собственное значение. Соответствующий ему собственный вектор . Найдем для этого преобразования пространства . По определению состоит из всех многочленов , для которых , т.е. . Это будут все многочлены, степень которых не превышает . Присоединенными векторами -го порядка будут многочлены, степень которых в точности равна .

В этом примере размерность каждого из подпространств равна и она растет от до вместе с ростом . Подпространство уже совпадает со всем пространством , и если мы захотим определить , и т.д., то все эти подпространства будут совпадать с .

Легко видеть также, что в этом примере . Это следует из того, что каждый многочлен степени есть производная от многочлена степени .

Упражнение. Показать, что для любого линейного преобразования имеет место включение .

 

Пусть – линейное преобразование, а – его собственное значение. Покажем, что подпространства сначала строго возрастают с ростом индекса, а затем, начиная с некоторого номера , этот рост прекращается, т.е. (смотрите приведенный в этом пункте пример).

Мы уже показали, что каждое подпространство содержит , т.е. что с увеличением номера подпространства , а значит и из размерности, могут только увеличиваться.

Так как наше пространство конечномерно, то для какого–то мы впервые получим, что .

Докажем, что в этом случае , т.е. что дальнейшего возрастания подпространства не будет.

Действительно, предположим противное, а именно, что , но для некоторого подпространство строго больше, чем . Тогда существует вектор такой, что , . Это значит, что

, но .

(4)

Обозначим через вектор . Тогда первое из выражений (4) означает, что , а второе, что , что невозможно, так как подпространства и по предположению совпадают.

Итак, пусть – некоторое собственное значение преобразования . Основным результатом этого пункта является построение инвариантного подпространства , состоящего из всех собственных и присоединенных векторов, отвечающих этому собственному значению. Его называют корневым подпространством, соответствующим собственному числу . Кроме того, в п. 3 нам понадобится более детальная структура . А именно, обозначая через подпространство, состоящее из присоединенных векторов порядка , мы получили возрастающую цепочку инвариантных подпространств

.

(5)

Все члены этой цепочки различны. Подпространство состоит при этом из всех векторов , для которых , т.е. это есть ядро преобразования .

Преобразование переводит каждое из подпространств цепочки (5) в предшествующее.

2^о. Прямая сумма подпространств

Пусть и – два подпространства линейного пространства .

Определение 4. Будем говорить, что векторное пространство представляет собой прямую сумму подпространств и , если может быть единственным образом представлен в виде суммы , где , .

Обозначение. .

В этом случае говорят, что разложимо в прямую сумму подпространств.

Обобщение. Если – подпространства мжет быть единственным образом представлен в виде , где , то сумма называется прямой суммой и обозначается .

Пример. Пусть – –мерное линейное пространство с базисом . Пусть , т.е. – линейная оболочка, натянутая на вектор :.Тогда .

Возможность других представлений следует из

Теорема 1. Для того, чтобы пространство было прямой суммой своих подпространст и достаточно, чтобы .

Доказательство. Пусть – базис и – базис в и . Докажем, что – базис в . Так как по условию , то достаточно показать, что – линейно независимы. Рассмотрим линейную комбинацию этих элементов и приравняем её к нулю:

т.к. слева , а справа , а , вектора – линейно независимы.

Таким образом, может быть разложен по базису:

,

где и , т.е. .

Осталось показать, что такое представление единственно.

Пусть и т.к. . ■

Замечание. Если , но сумма не прямая, то представление не единственно. Например,

и – подпространства и . На и . Иначе дело обстоит, если – такое же, а .

3°. Выделение подпространства, в котором преобразование имеет только одно собственное значение.

Пусть – некоторое собственное значение преобразования . В этом пункте мы покажем, что пространство можно разложить в прямую сумму двух инвариантных подпространств, в первом из которых преобразование имеет лишь одно собственное значение , а во втором у преобразования уже нет собственного значения .

Не ограничивая общности, можно считать, что .

Действительно, пусть . Рассмотрим преобразование . Оно уже имеет собственное значение, равное нулю[1]. Очевидно, что инвариантные подпространства преобразований и совпадают.

Итак, впредь мы считать, что преобразование имеет собственное значение . Рассмотрим введенное в п. 1 инвариантное подпространство , состоящее из всех собственных и присоединенных векторов преобразования , отвечающих собственному значению . Как мы помним, оно является ядром преобразования , т.е. состоит их всех векторов , для которых .

В качестве второго слагаемого прямой суммы мы возьмем подпространство – образ пространства при том же преобразовании .

Легко видеть, что также инвариантно относительно преобразования . Действительно, если , т.е. , то , т.е. также принадлежит .

Теорема 2. Пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и . При этом подпространство состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению , а в подпространстве преобразование обратимо (т.е. не является собственным значением преобразования в подпространстве ).

Доказательство. Для доказательства первого утверждения нам достаточно показать, что пересечение подпространств и равно нулю. Допустим противное, т.е. пусть существует такой вектор такой, что и . Так как , то

.

(6)

Далее, так как , то

.

(7)

Но из (6) и (7) следует, что существует такой вектор , для которого и в то же время . Это значит, что есть присоединенный вектор преобразования с собственным значением , не принадлежащий подпространству , что невозможно, так как состоит из всех таких векторов.

Таким образом, мы доказали, что пересечение и равно нулю. Так как сумма размерностей этих подпространств равна (это ядро и образ преобразования ), то отсюда следует, что пространство раскладывается в прямую сумму этих подпространств:

.

(8)

Докажем теперь второе утверждение теоремы, т.е. что в подпространстве преобразование не имеет нулевого собственного значения. Действительно, если бы это было так, то в существовал бы вектор такой, что . Но это равенство означает, что , т.е. является общим вектором и , а мы доказали, что таким вектором может быть только нуль. ■

Теперь мы можем освободиться от предположения, что выделенное подпространство отвечает нулевому собственному значению, и считать установленным следующий факт.

Если – некоторое собственное значение преобразования , то пространство можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств и , в первом из которых преобразование имеет только собственное значение , а во втором все собственные значения отличны от .

Применяя полученный результат к преобразованию в пространстве и к некоторому собственному значению этого преобразования, мы «отщепим» инвариантное подпространство, отвечающее собственному значению . Продолжая этот процесс, пока не будут исчерпаны все собственные значения преобразования , мы получим доказательство следующей теоремы:

Теорема 3. Пусть преобразование пространства имеет различных собственных значений . Тогда можно разложить в прямую сумму инвариантных подпространств :

.

(9)

Каждое из подпространств состоит только из собственных и присоединенных векторов, отвечающих собственному значению .

 

Другими словами, для каждого существует такое число , что для всех выполнено .

У нас осталась еще одна, впрочем, не менее важна задача – выбрать в каждом подпространстве базис, в котором матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Это будет сделано в следующем пункте.

3°. Приведение к нормальной форме матрицы с одним собственным значением.

В случае если пространство состоит только из собственных векторов, базис в пространстве можно выбирать произвольно и матрица преобразования в этом базисе имеет диагональный вид.

В общем случае, чтобы выбрать базис, в котором матрица преобразования имеет наиболее простой вид, мы будем строить цепочки собственных и присоединенных векторов, выбрав некоторый базис в подпространстве и последовательно применяя к векторам этого базиса преобразование .

Определение 5. Векторы из пространства называются линейно независимыми относительно подпространства , если их линейная комбинация, отличная от нуля, не принадлежит .

Заметим, что всякие линейно зависимые векторы из линейно зависимы относительно любого подпространства.

Определение 5. Базисом пространства относительно подпространства называется такая система линейно независимых векторов из , которая после пополнения каким-нибудь базисом из образует базис во всем пространстве.

Такой базис легко построить. Для этого достаточно выбрать какой-нибудь базис в , дополнить его до базиса во всём пространстве и затем отбросить векторы исходного базиса из . Число векторов в таком относительном базисе равно разности размерностей пространства и подпространства.

Всякую систему линейно независимых векторов относительно можно дополнить до базиса относительно . Для этого нужно к выбранным векторам добавить какой–нибудь базис подпространства . Получится некоторая система векторов из , которые, как легко проверить, линейно независимы. Чтобы получить базис относительно , нужно дополнить эту систему до базиса во всем пространстве , а затем отбросить базис подпространства .

Итак, пусть преобразование в пространстве имеет только одно собственное значение. Не ограничивая общности, можно предположить, что оно равно нулю.

Рассмотрим снова цепочку (5) подпространств, полученных в п.1:

,

где подпространство есть ядро преобразования . Так как преобразование в пространстве не имеет отличных то нуля собственных значений, то, очевидно, совпадает при этом со всем пространством .

Выберем в максимальном из этих подпространств базис относительно содержащегося в нем подпространства . Пусть векторы этого базиса будут

.

(10)

Очевидно, что это будут присоединенные векторы –го порядка. Мы уже видели (см. упражнение на стр.211), что . Поэтому векторы

лежат в . Покажем, что эти векторы линейно независимы в относительно лежащего в нем подпространства . Действительно, пусть не все и

.

(11)

Тогда вектор , а это противоречит предположению, что векторы линейно независимы над .

Дополним векторы до базиса в относительно . Мы получим тогда векторов , , которые представляют собой максимальное число линейно независимых присоединенных векторов порядка .

Снова применим к этим векторам преобразование и полученную систему векторов из дополним, как и выше, до базиса в относительно . Продолжая этот процесс, мы дойдем до подпространства и выберем базис в этом пространстве, состоящий из максимального числа линейно независимых собственных векторов.

Расположим полученные векторы в следующую таблицу

.

(12)

Векторы нижней строчки образуют базис в подпространстве . Векторы двух нижних строчек образуют базис в , так как это есть базис относительно в соединении с базисом . Векторы трех нижних строчек образуют базис в и т.д. Наконец, все векторы таблицы образуют базис в , т.е. во всем пространстве .

Покажем, что в этом базисе матрица преобразования имеет жорданову нормальную форму. Действительно, рассмотрим произвольный столбец таблицы (12), например, для определенности первый.

Обозначим для удобства через – через и т.д. и рассмотрим действие преобразования на каждый из этих векторов. Так как – собственный вектор, отвечающий нулевому собственному значению, то .

Дальше, по определению,

и аналогично

.

Таким образом, преобразование переводит векторы первого столбца снова в себя, т.е. подпространство , натянутое на эти векторы, инвариантно относительно . Матрица преобразования в подпространстве в базисе имеет вид

.

(13)

Матрица (13) есть жорданова клетка, отвечающая собственному значению . Обозначается . Аналогичное инвариантное подпространство отвечает каждому из столбцов таблицы (12), и размерность каждого такого подпространства равна числу векторов в соответствующем столбце. Так как матрица преобразования в базисе, состоящем из векторов какого-либо столбца таблицы (12), имеет вид (13), то матрица преобразования во всем пространстве в базисе, состоящем из всех векторов таблицы (12), состоит из жордановых клеток, число которых равно числу столбцов в этой таблице, а размер каждой клетки равен числу векторов соответствующего столбца.

Если вместо преобразования рассмотреть преобразование , то, так как матрица преобразования диагональна, мы получим тот же результат для преобразования пространства , имеющего только одно собственное значение, равное произвольному числу . Соответствующие жордановы клетки матрицы преобразования будут иметь вид:

.

(14)

Вспоминая теперь, что для произвольного преобразования мы можем разложить пространство в сумму инвариантных подпространств, в каждом из которых преобразование имеет только одно собственное значение (см. формулу (11)), мы получаем отсюда полное доказательство теоремы.

Теорема 4. Пусть задано произвольное линейное преобразование в комплексном пространстве измерений. Предположим, что у имеется линейно независимых собственных векторов

,

соответствующих собственным значениям . Тогда существует базис, состоящий из групп векторов *):

,

(1)

В котором преобразование имеет следующий вид:

,

(2)

5^o. Примеры.

Найти жорданову форму матрицы и матрицу перехода к жордановому базису для преобразования, заданного в исходном базисе матрицей

а) .

Характеристический многочлен – собственное значение. ~ единственный собственный вектор .

= .

Поделиться: