Линейное преобразование, сопряженное данному
1º. Определения, свойства.
Здесь изучаются линейные преобразования в евклидовых пространствах, т.е. в линейных пространствах со скалярным произведением.
Определение 1. Линейное преобразование 
евклидово пространство называется сопряженным данному преобразованию 
, если 
E 
:
(1)
Лемма 1. а) Если произведение данной строки на произвольный столбец равно нулю, то строка равна нулю;
б) Если произведение произвольной строки на данный столбец равно нулю, то столбец состоит из нулей.
Доказательство:
а) Рассмотрим строку 
Ее произведением на столбец 
– 
–ая строка равно 
и равно 0 
б) Аналогично. ■
Пусть E 
– 
–мерное евклидово пространство и пусть для симметричного преобразования 
сопряженное ему преобразование .
Пусть 
– базис в E . Выясним, как связаны матрицы 
и 
. Пусть в базисе они имеют матрицы 
и 
. Тогда (1) примет вид:
где 
– матрица Грама базиса . Тогда
в силу леммы 1
(2)
где 0 – нулевая матрица.
Если базис – ортонормированный, то 
(3)
Утверждение 1. Каждое линейное преобразование в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобразование, причем единственное.
Доказательство:
В E выберем ортонормированный базис 
. Пусть – матрица линейного преобразования и пусть 
– матрица некоторого преобразования 
Тогда условие (1) с преобразованием 
приводит к следующему:
т.е. – матрица сопряженного преобразования. Если бы было два преобразования, сопряженных , то в силу (3) их бы матрицы совпадали. ■
Свойства сопряженных операторов.
1°. 
2°. 
Следует из того, что 
и утверждения 1.
3°. 
4°. 
5°. 
Доказательство: самостоятельно.
Утверждение 2. Если подпространство 
инвариантно относительно , ортогональное к нему дополнение 
инвариантно относительно 
Доказательство:
инвариантно относительно 
Пусть 
. ■
Утверждение 3. Характеристический многочлен сопряженного преобразования совпадает с характеристическим многочленом самого линейного преобразования.
Доказательство:
, т.к. 
2º. Самосопряженные преобразования.
Определение 2. Линейное преобразование евклидова пространства называется самосопряженным или симметрическим, если 
Утверждение 4. Преобразование является самосопряженным 
его матрица в любом ортонормированном базисе симметрическая (т.е. удовлетворяет условию 
).
Теорема 1. Характеристические числа самосопряженного линейного оператора вещественны.
Доказательство:
Пусть 
– собственное значение самосопряженного линейного оператора , т.е. 
. Для вещественной матрицы 
имеет наряду с корень 
. Покажем, что 
– соответствующий собственный вектор. Действительно, 
. Покажем далее, что 
Имеем 
выполняя транспонирование
(*)
(**)
Вычитая (*)–(**), имеем: 
. Т.к. 
– вещественное число 
■
Следствие. Если – симметричная матрица, то все корни уравнения – вещественные.
Теорема 2. Собственные векторы самосопряженного преобразования , принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.
Доказательство:
Пусть 
и 
Тогда 
и 
■
Теорема 3. Если – инвариантное подпространство относительно самосопряженного преобразования , то его ортогональное дополнение – тоже инвариантное подпространство.
Доказательство:
Пусть 
, т.е. 
. Пусть 
, т.е. 
. ■
Теорема 4. Пусть – самосопряженное линейное преобразование в 
. Тогда в существует ортонормированный базис из собственных векторов.
Доказательство:
Методом математической индукции по числу измерений 
. Очевидно, т.к. 
– собственный для искомый базис – вектор длины 1.
Пусть для 
верно. Докажем для . По теореме 1 хотя бы одно собственное значение хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство 
. Пусть 
– единичный вектор в нем. По теореме 3 ортогональное дополнение 
– инвариантное подпространство размерности .
Пусть 
– сужение на 
( = 
). Тогда – самосопряженный на , т.к. 
выполнено для 
. Более того, если 
– собственный вектор для , то он собственный для .
По предположению индукции в 
– мерный ортонормированный базис из собственных векторов для 
– ортонормированный базис из E ( 
вектору 
, а они ортогональны по предположению индукции). ■
Следствие. Если – симметрическая матрица, то ортогональная матрица 
– диагональная матрица.
Доказательство:
Следует из того, что в базисе собственных векторов матрица принимает диагональный вид. ■
Для построения такого базиса находят собственные вектора. Если собственные вектора принадлежат разным собственным значениям, то по теореме 2 они ортогональны, если 
– кратный корень, то полученные собственные вектора нужно ортогонализовать и нормировать.