Мы уже определили такие понятия, характеризующие направленное движение заряженных частиц, как сила тока (выражение 11.1), плотность тока. Установили уравнение непрерывности 22.1. Теперь же попробуем более подробно описать электрические токи в металлах, определить важнейшие параметры, характеризующие металлы с точки зрения их электропроводности.
Хорошая электропроводность металлов объясняется наличием в них почти свободных носителей заряда – электронов. В самом грубом приближении она равняется концентрации атомов в металле. Итак, будем считать, что концентрация свободных носителей заряда нам известна.
Классическая теория электропроводности металлов была создана в начале 20 века, однако во многих отношениях она полезна и сейчас, особенно для приближенных оценок. Квантовые теории физики твердого тела, несомненно, более строгие, но применять их весьма сложно.
§ 36 Классическая теория электропроводности металлов
Возьмем кусок проводника сечением 
, длиной 
. Концентрация свободных носителей заряда (электронов 
, если это металлический проводник) равна 
. Будем поддерживать за счет внешнего источника постоянную разность потенциалов на концах проводника 
(рис.36.1).
Рис.36.1
Если проводник однороден, то в нем будет существовать неисчезающее однородное электрическое поле напряженности 
. На свободные носители заряда в этом поле будет действовать кулоновская сила, под действием которой они придут в направленное движение вдоль поля. Скорость этого направленного движения будет конечной, поскольку в своем движении заряды будут рассеиваться на всевозможных дефектах. Назовем эту скорость средней скоростью направленного движения вдоль поля 
. Ее часто называют дрейфовой скоростью. Свободный носитель заряда хаотически двигаясь с большой тепловой скоростью 
медленно дрейфует по полю также, как парусник дрейфует по ветру под управлением неумелого экипажа.
Заряд, который пересечет сечение проводника за время 
, будет равен произведению заряда одного носителя на число свободных носителей заряда 
, которые за это время пересекут сечение проводника. Например, левое сечение проводника пересекут все заряды из объема 
:
.
Тогда плотность тока в проводнике будет равна:
. (36.1)
Для определения дрейфовой скорости решим задачу динамики движения свободного носителя заряда (электрона). Его ускорение в электрическом поле равно постоянной величине:
,
скорость со временем растет линейно до тех пор, пока электрон не рассеится на каком-либо дефекте. После рассеяния среднее значение скорости в направлении электрического поля уменьшается. Процессы ускорения и рассеяния электронов иллюстрирует рис.36.2.
Рис.36.2
Найдем среднюю скорость, воспользовавшись ее определением (Механика, 3.6):
.
Мы учли, что среднее значение начальной скорости после каждого рассеяния равно нулю, кроме этого, отношение длинного промежутка времени 
, на котором мы усредняем скорость, к числу рассеяний за это время даст нам среднее время ускоренного движения электрона между столкновениями 
.
Отношение 
называют временем релаксации 
.
Тогда окончательно для плотности тока в проводнике получим следующее выражение:
. (36.2)
Сомножитель в правой части уравнения перед напряженностью поля зависит только от свойств материала проводника и называется удельной проводимостью 
. Ее, в свою очередь, представляют в виде произведения 
, где
(36.3)
называют подвижностью свободных носителей заряда. Она определяет дрейфовую скорость в единичном поле, так как 
.
Уравнение 36.2 называют законом Ома в дифференциальной форме, поскольку оно в каждой точке внутри проводника связывает плотность тока с напряженностью поля. Можем получить закон Ома для участка цепи изображенной на рисунке 36.1 в интегральной форме:
. (36.4)
Падение напряжения на участке цепи 
равно произведению силы тока на сопротивление этого участка цепи 
. Последнее определяется следующим образом:
, (36.5)
где величина 
обратная удельной проводимости называется удельным сопротивлением материала проводника.
Поскольку в своем дрейфовом движении носители заряда могут рассеиваться на различных дефектах, мы можем утверждать, что в общее удельное сопротивление будут давать вклады все возможные механизмы: рассеяние на тепловых колебаниях, на примесях, на вакансиях, на линейных дефектах кристаллов – дислокациях, рассеяние на границах между кристаллами в поликристаллическом материале.
Пусть у нас имеется 
электронов, движущихся вдоль оси х. Тогда число рассеянных электронов (выбывших из этой группы) после прохождения расстояния 
будет пропорционально исходному их числу и длине пройденного ими пути
.
Знак минус говорит об убывании числа электронов в группе, коэффициент пропорциональности 
характеризует материал проводника. Вероятность рассеяния электрона на единице длины пути будет пропорциональна :
.
Если процесс рассеяния на каждом дефекте независим от наличия других дефектов, то суммарная вероятность рассеяния (на единице длины) на каком либо дефекте будет равна сумме вероятностей рассеяния на определенном дефекте
.
Индекс 
соответствует определенному механизму рассеяния. Параметр 
- длина, на которой исходное число электронов в группе уменьшается в е раз, может быть названа длиной свободного пробега. Она, очевидно, пропорциональна времени релаксации : 
. Коэффициент пропорциональности – средняя скорость теплового движения электронов 
. Тогда для удельного сопротивления получим выражение:
. (36.6)
Электросопротивление металлов имеет аддитивную природу. Выражение (36.6) называют правилом Маттиссена (A.Mattiessen, 1862).
Этот физический результат применяется, например, для измерения концентрации примесей в сверхчистых металлах. Удельное сопротивление металла с ростом температуры растет (рис.36.3), поскольку увеличивается концентрация квазичастиц – фононов (тепловые колебания), на которых возможно рассеяние электронов.
Рис.36.3
Измерив при низкой температуре 4.2К удельное сопротивление металла, можем по его значению судить о концентрации примесей, поскольку рассеяние на фононах становится незначительным. На рисунке приведены три кривые для трех концентраций примесей. Чем меньше 
, тем меньше содержание примесей в металле.