Перемещения балки при изгибе

При изгибе поперечное сечение балки получает два перемещения – вертикальное v, называемое прогибом, и угол поворота φ (рис. 6.12). Изогнутая ось балки называется упругой линией. Между прогибами и углами поворота существует дифференциальная зависимость

.

Уравнение упругой линии бал­­ки можно найти из решения диф­ференциального уравнения с учетом опорных закреплений. Обычно для вычисления перемещений применяют формулу Мора , где – уравнение изгибающих моментов от внешней нагрузки; – уравнение изгибающих моментов от единичной нагрузки вспомогательного состояния; – изгибная жесткость поперечного сечения балки.

Интегрирование выполняют по длине каждого участка балки, и полученные результаты суммируют по всем участкам.

Порядок вычисления перемещения по формуле Мора.

1. Построить от заданной внешней нагрузки эпюру изгибающих моментов .

2. Назначить вспомогательное состояние балки для определения искомого перемещения. В этом состоянии балка нагружается только вертикальной силой, равной единице, в той точке, прогиб которой определяют, либо только сосредоточенным моментом, равным единице, в том сечении, угол поворота которого находят.

3. Построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки во вспомогательном состоянии балки.

4. Вычислить интегралы в формуле Мора «перемножением» эпюр

.

«Перемножение» эпюр можно выполнить тремя приёмами (правилами):

1. Пусть однозначная грузовая эпюра имеет произвольное очертание. Площадь этой эпюры – W. Вспомогательная эпюра изображается прямой линией в пределах всего участка. Ординату вспомогательной эпюры, расположенной под точкой С – центром тяжести грузовой эпюры, – обозначим (вариант 1 на рис. 6.13).

Тогда

.

.

Если точка С и ордината расположены по одну сторону от оси стержня, то интеграл принимает положительное значение, иначе – отрицательное значение. Этот прием вычисления интег­­рала Мора называется пра­вилом Верещагина.

2. Пусть обе эпюры изображаются прямыми линиями (вариант 2 на рис. 6.13). Известны ординаты эпюр по концам участка. Применяя правило Верещагина, после преобразований получаем следующее выражение, называемое формулой трапеций

.

Если две перемножаемые ординаты эпюр отложены по одну и ту же сторону от оси стержня, то их произведение считается положительным, если – по разные стороны, то отрицательным. В частных случаях эпюры могут иметь вид прямоугольников или треугольников.

3. Пусть грузовая эпюра изображается кривой, а вспомогательная эпюра – прямолинейная (вариант 3 на рис. 6.13). Используя формулу Симпсона для приближенного вычисления интеграла при разделении длины участка на две одинаковые части, получаем следующее выражение, называемое универсальной формулой (формулой Симпсона)

Как в формуле трапеций, если две перемножаемые ординаты эпюр отложены по одну и ту же сторону от оси стержня, то их произведение считается положительным, если отложены по разные стороны, – то отрицательным. Универсальную формулу можно использовать и для случая прямолинейной грузовой эпюры.

При положительном ответе направление перемещения совпадает с направлением единичного воздействия во вспомогательном состоянии, если ответ получается отрицательным, то направление перемещения противоположно направлению единичного воздействия во вспомогательном состоянии.

Пример 6.3. Для балки, рассмотренной в примере 6.1 (рис. 6.4), вычислить прогиб v_c и угол поворота φ _c конца консоли С. Балка выполнена из двутавра № 18 (I_x = 1290 см⁴), модуль упругости стали Е = 2×10⁴кН/см².

Рис. 6.14. Определение перемещений: а – заданная балка; б – грузовая эпюра ; в – первое вспомогательное состояние; г – первая вспо­мо­га­тельная эпюра; д – второе вспомогательное состояние; е – вторая вспо­могательная эпюра

Грузовая эпюра изгибающих моментов повторена на рис. 6.14, б.

На рис. 6.14, в, г показаны вспомогательное состояние и соответствующая эпюра изгибаю­щих моментов, необходимые для вычисления прогиба точки С. На рис. 6.14, д, е показаны вспомогательное состояние и соответствующая эпюра изгибающих моментов, необходимые для вычисления угла поворота сечения С.

Для вычисления прогиба следует «перемножить» эпюры и . На левом участке (в пролете) используем универсальную формулу, на правом участке (на консоли) применяем формулу трапеций:

Для вычисления угла поворота следует «перемножить» эпюры и . На левом участке (в пролете) используем универсальную формулу, на правом участке (на консоли) применяем правило Верещагина:

Сечение С поворачивается против хода часовой стрелки.

6.5. Справочные данные для балок (табл. 6.1)

Таблица 6.1