Проверил: профессор Иванов Г. А.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

 

 

Факультет «Бизнес и управление»

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По дисциплине

«Эконометрика»

 

 

Исполнитель: Студент

III курс заочного отделения,

шифр

 

Проверил: профессор Иванов Г. А.

 

 

 

Москва 2012

Экономико-математическое моделирование

основных финансово - экономических показателей

Важным направлением в исследовании закономерностей социально-экономических процессов является изучение общей тенденции развития. Прогнозирование - это метод, в котором используются накопленный в прошлом опыт и текущие допущения на счет будущего в целях его определе­ния. Если прогнозирование выполнено качественно, то результатом станет кар­тина будущего, которую можно использовать как результат планирования.

Существует много методов прогнозирования, среди которых можно вы­делить метод анализа временных рядов. Он основан на допущении, согласно которому случившееся в прошлом дает достаточно хорошее приближение в оценке будущего.

Изменение уровней рядов динамики обусловливаются влиянием на изу­чаемое явление ряда факторов, которые неоднородны по силе, направлению и времени их действия. Постоянно действующие факторы оказывают на изучае­мые явления определяющее влияние и формируют в рядах динамики основную тенденцию развития (тренд). Воздействие других факторов проявляется перио­дически.

Различные результаты действия постоянных, периодических и разовых причин и факторов на уровни развития социально-экономических явлений во времени обусловливают необходимость изучения основных компонентов ряда динамики: тренда, периодических колебаний, случайных отклонений.

Особенностью изучения развития социально-экономических процессов во времени является то, что в одних рядах динамики основная тенденция роста проявляется при визуальном обзоре исходной информации, в других рядах ди­намики общая тенденция развития непосредственно не проявляется. Она может быть выражена расчетным путем в виде некоторого теоретического уровня.

При изучении в рядах динамики основной тенденции развития (тренда) решаются две взаимосвязанные задачи:

- выявление в изучаемом явлении наличия тренда с описанием его качест­венных особенностей;

- измерение выявленного тренда, то есть получение обобщающей количе­ственной оценки основной тенденции развития.

 

Подбор аппроксимирующей функции по результатам наблюдения.

Наносим наблюдаемые значения на график. По виду графика подбираем вид аппроксимирующей функции. Для нашего примера в большей степени подходит линейная функция. Итак, принимаем гипотезу о том, что наблюдаемые значения описываются линейной моделью.

у = а + β*Х, где а и β являются параметрами данной модели.

 

Определение параметров модели.

Параметры модели определяются методом наименьших квадратов

Суть метода: min ∑ е²i = min ∑ (уi - у);

dS / dα = -2 ∑ y+2nα+2β ∑ x =0

dS / dβ = -2 ∑ ух+2α ∑ х+2β ∑ х² =0

 

Система нормальных уравнений:

nα+ β ∑ x = ∑ y

α ∑ x + β ∑ х² = ∑ xy

α + β*xср = yср

α*xср + β (х²)ср = (xy)ср

С помощью системы уравнений находим коэффициенты регрессии

(параметры уравнения):

β = (xy)ср - yсрxср β = 40408

(х²)ср -(xср)²

α = yср - β*xср α =118751

Определение коэффициента корреляции.

С помощью коэффициента корреляции (ryx) производится оценка тесноты связи между у и х.

Коэффициент корреляции больше 0,7, то связь между х и у сильная. В нашем случае ryx = 0,869.

 

rxy = ((xy)ср -xср yср) / δx δy

δx = (xi -xср)² / (n-1); δx =2,449

δy = (yi - yср)² / (n -1); δy =99699

где n - число наблюдений в выборке, δx δy - среднее квадратическое отклонение.

Коэффициент Снедекера F.

Коэффициент Снедекера F оценивает существенность (значимость) построенной модели.

F фактич = rxy ² (n-2) / (1- rxy²)

F фактич = 7,233;. F теоритич = 5,52;

F фактич > F теоретич, то модель существенна.

 

Теоретические значения критерия Снедекера можно взять в таблице.

Таблица Фишера

 

M	F теоритич
	6,61
	5,99
	5,52
	5,32
	5,12
	4,96

 

m - число степеней свободы

m = n-1 (количество наблюдений в выборке минус число уравнений связи).

 

 

Коэффициент детерминации.

R² = ∑(y^ - yср)² / ∑(yi -yср)²

∑(y^ - yср)² - общая сумма квадратов отклонений;

∑ (yi -yср)² - сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (объясненная или факторная).

Коэффициент детерминации > 0,8, то модель описывает наиболее существенные стороны рассматриваемой модели или процесса. В нашем примере R² = 0,986. Это значит, что 98 % результирующего признака определяется параметрами независимого аргумента.

Случайные ошибки и оценка значимости по t-критерию Стьюдента

Случайные ошибки:

mβ = (∑ (yi - y^)² / ((n-2) ∑ (x - xср)²))½ mβ = 1991

тα = (∑ (yi - y^)² ∑ x² / (n(n-2) ∑ (x - xср)²))½ тα = 10054

mr = ((1- ryx²) / (n-2)) ½ mr = 0,202

 

Оценка значимости коэффициентов:

tβ = β / mβ

tα = α / тα

tr = r / mr

Полученные коэффициенты сравниваются с данными из таблицы Стьюдента:

Таблица Стьюдента.

 

m	t
	2.57
	2.45
	2.36
	2.31 /
	2.26
	2.23

 

В нашем примере tβ =20,295; tα =11,811; tr =4,296; tтабл = 2,31. значения этих коэффициентов больше табличного, то коэффициенты регрессии α, β, и коэффициент корреляции (ryx) существенны.

 

Доверительные интервалы для α, β

Сначала вычисляем предельные ошибки для α и β:

Δα = tтабл* mα Δα =23728 Δβ = tтабл* mβ Δβ =4698

Доверительный интервал для определенных параметров:

Lα min = α - Δα Lα min = 95023

Lα mах = α + Δα Lα mах = 142479

Lβ min = β - Δβ Lβ min = 35709

Lβ mах = β + Δβ Lβ mах = 45107

Целесообразно иметь доверительные интервалы не более 10% от абсолютных значений определяемых параметров. Полученные доверительные интервалы не удовлетворяют этому условию.

Доверительные интервалы прогноза.

Средняя стандартная ошибка прогноза:

my = δост (1+1/n +(x - xср)² / ∑ (x - xср)²)½ myр = 18836

δост = (∑ (yi - y^)² / (n-1)) ½ δост = 12903

yp = 563247

Доверительный интервал прогноза:

∆yp = tтабл myp ∆yp = 44453

Ly min = yp - ∆yp Ly min = 518794

Ly max = yp + ∆yp Ly max = 607700

 

 

Рис. 5 Прогноз выручки от реализации продукции.

Выводы:

 

Для того, чтобы моделью можно было пользоваться, она должна быть надежна, при этом коэффициент Снедекера F_ф > F_табл (3,037 < 5,52). Моделью можно пользоваться.

Коэффициент корреляции, r_xy < 0,7 (0,580 < 0,7), это свидетельствует о сильной связи между отклонениями фактических уровней сравниваемых рядов от соответствующих им выравненных уровней.

Условие оценки значимости коэффициентов α, β, r_x по t-критерию Стьюдента:

tα=23,788;	tβ= -0,334;	tr= -7,265;
tα > tтаб (23,788> 2,36);	tβ> tтаб (-0,334< 2,36);	tr > tтаб (-7,265<2,36);

модель не надежна;

- предельные ошибки α, β и r_xy:

Модель не надежна и не может быть использована для прогноза, необходимо увеличивать количество наблюдений (m) и сделать заново прогноз.

∆α=13294 < 10%

∆β=17061 < 10%

∆r_xy = 0,477 > 10%

Доверительные интервалы превышает 10 % от абсолютных значений определяемых параметров.

Модель не надежна и не может быть использована для прогноза, необходимо увеличить количество наблюдений (n) и сделать заново прогноз.