Определение 1. Упорядоченный набор чисел, записанный в виде 
, называется n - мерным вектором, где 
- его координаты или компоненты 
.
Понятие n - мерного вектора широко используется в экономике: некоторый набор товаров можно охарактеризовать вектором 
, а соответствующие цены - вектором 
.
Векторы можно:
1) умножать на действительное число
;
2) складывать
.
Эти операции обладают следующими свойствами:
1. 
- переместительное (коммутативное).
2. 
- сочетательное (ассоциативное)
3. 
- ассоциативное относительно числового множителя
4. 
- распределительное (дистрибутивное)
5. 
- дистрибутивное относительно суммы числовых
множителей.
6. Существует нулевой вектор 
такой, что 
7. Для любого вектора 
существует противоположный вектор 
такой, что 
8. 
- для любого вектора 
.
Определение 2. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены действия 
и 
, удовлетворяющие 8- ми свойствам (аксиомам), называется линейнымвекторным пространством.
§ 10.1 Линейная зависимость векторов.
Определение 1. Вектор 
называется линейной комбинацией векторов 
векторного пространства 
, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа:
Определение 2. Векторы 
векторного пространства 
называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 
, не равные одновременно нулю, что:
В противном случае векторы называются линейно независимыми (два неколлинеарных вектора).
Пример: Даны три вектора: 
.
Доказать, что векторы 
и 
линейно независимы и выразить вектор 
через 
и 
.
Решение:
1) Докажем линейную независимость векторов:
Такая система всегда имеет тривиальное нулевое решение.
Убедимся, что других решений эта система не имеет:
система имеет только нулевое решение, значит, векторы линейно независимы.
2)Выразим вектор 
:
§ 10.2 Базис и размерность линейного векторного пространства.
Определение 1. Линейное пространство R называется n- мерным, если в нем существует n - линейно независимых векторов.
Определение 2. Максимальное число (n) содержащихся в пространстве R линейно независимых векторов называется размерностью пространства и обозначается dim (R).
Определение 3. Совокупность n линейно независимых векторов пространства R называется базисом.
Определение 4. Если 
- базис пространства R, то вектор 
называется разложением вектора 
по базису, а числа 
- координатами вектора 
относительно этого базиса.
§11.Скалярное произведение двух векторов. Евклидово пространство
Определение 1. Скалярным произведением двух векторов 
и 
называется число 
Скалярное произведение имеет экономический смысл: если вектор 
- объем различных товаров, а 
- вектор их
цен, то 
- выражает суммарную стоимость товаров.
Скалярное произведение обладает свойствами:
1. 
- коммутативность
2. 
- дистрибутивность
3. 
- ассоциативность
4. 
, если 
- ненулевой вектор
, если 
Определение 2. Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (аксиомам), называется евклидовым пространством.
Определение 3. Длиной или нормой вектора в евклидовом пространстве называется корень квадратный из его скалярного квадрата:
Норма вектора обладает свойствами:
1. 
, если 
2. 
, где λ - действительное число
3. 
- неравенство Коши-Буняковского
4. 
- неравенство треугольника
В евклидовом пространстве можно тоже находить 
угла между двумя векторами:
, где 
.
Из полученной формулы следует, что для n-мерных векторов справедливо определение скалярного произведения, данного для трехмерных векторов.
Определение4: Скалярным произведением двух ненулевых векторов 
и 
называется число, равное произведению их длин на 
угла между ними.
Определение 5. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, т.е.
Определение 6. Два вектора считаются коллинеарными если их координаты пропорциональны.
Определение 7. Векторы 
n - мерного евклидова пространства образуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортогональны и норма каждого из них равна единице, т.е. если
и 
Во всяком n – мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Пример:
: 
: 
§12. Линейные операторы
Определение 1. Оператором (отображением) линейного векторного пространства называют функцию, определенную на множестве векторов данного пространств и со значениями во множестве векторов пространства:
Определение 2. Оператор 
данного пространства называется линейным, если для любых векторов 
этого пространства выполняются соотношения:
Теорема. Всякая матрица 
определяет в пространстве 
линейный оператор 
по закону:
В развернутом виде этот закон можно записать так:
Матрица, о которой говорится в теореме, называется матрицей линейного оператора φ и обозначается 
.
Равные матрицы задают равные линейные операторы, поэтому линейный оператор, целиком определяется своей матрицей.
Примеры линейных операторов:
1) Нулевой оператор, задаваемый нулевой матрицей:
- все векторы переходят в нуль - вектор
2) Тождественный оператор 
, заданный единичной матрицей 
:
- все векторы переходят в себя
3) Оператор подобия в 
задается матрицей 
. Этот оператор каждый вектор 
переводит в вектор 
по формулам:
Алгебра линейных операторов
При сложении линейных операторов их матрицы складываются.
При умножении оператора на число, его матрица также умножается на это число.
При умножении операторов их матрицы перемножаются.
Матрица обратного оператора равна обратной матрице исходного оператора.
§13. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора
Определение 1. Ненулевой вектор 
называется собственным вектором линейного оператора 
, если под действием 
этот вектор переходит в коллинеарный ему вектор 
, т.е.
или 
При этом число 
называется собственным числом оператора .
Займемся теперь вопросом о нахождении собственных векторов и собственных чисел линейного оператора.
Пусть в 
φ: 
, т.е. 
, где 
Тогда оператор можно задать формулами:
или матрицей 
.
Для того, чтобы 
был собственным вектором с собственным числом λ,
нужно чтобы 
, т.е. 
Подставляя эти формулы в систему (1), получим:
или 
.
Полученной системе (2) должны удовлетворять координаты собственных векторов и собственные числа. Эта система однородная, следовательно, она имеет ненулевое решение при условии 
. Таким образом:
.
Это так называемое характеристическое уравнение оператора 
, из которого можно находить собственные числа 
, а затем, используя систему (2), находить собственные векторы, соответствующие этим 
.
Характеристическое уравнение часто записывают в более компактной форме. Преобразуем левую часть:
.
Получим: 
- характеристическое уравнение.
Пример: Найти собственные векторы и собственные числа линейного оператора 
, заданного формулами:
Решение:
1) Составляем характеристическое уравнение:
2) Для нахождения собственных векторов составляем систему (2):
а) при 
Таким образом, числу 
соответствует семейство свободных векторов 
;
б) при 
Значит, собственному числу 
соответствует подпространство
свободных векторов 
Ответ: имеем собственные числа 
; 
и соответствующие семейства свободных векторов 
.
Отметим, что приведенные рассуждения аналогичны и для 
и 
.