КУРС, ОСЕННИЙ СЕМЕСТР, 5 ФАКУЛЬТЕТ (102 часа)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫК ЗАЧЕТУ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

(5 фак. 102 часа)

(Второй курс, осенний семестр (третий семестр))

1. Понятие числового ряда, его частичной суммы, сходимости

1. и расходимости.

2. Необходимый признак сходимости (достаточный признак расходимости) числового ряда.

3. Ряд остаточных членов, св-ва. Приближенное вычисление суммы сходящегося ряда.

4. Критерий Коши сходимости числового ряда и его применение для доказательства расходимости гармонического ряда.

5. Простейшие действия над рядами. Основные свойства сходящихся рядов.

6. Знакопостоянные числовые ряды. Критерий сходимости для рядов с неотрицательными членами.

7. Признак Маклорена-Коши (интегральный признак Коши) сходимости числового ряда с неотрицательными членами. Ряд Дирихле.

8. Признаки сравнения для числовых рядов с неотрицательными членами.

9. Признак Даламбера в предельной и непредельной формах.

10. Радикальный признак Коши в предельной и непредельной формах.

11. Знакопеременные ряды. Понятие абсолютной и условной сходимости.

12. Теорема Эйлера.

13. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница и следствие из него.

14. Определение функционального ряда, понятие частичной суммы, сходимости в точке, области сходимости. Понятие поточечной и равномерной сходимости. Критерий Вейерштрасса (мажорантный признак). Свойства равномерно сходящихся рчдов.

15. Степенные ряды. Основная теорема степенных рядов "Теорема Абеля".

15. Понятие радиуса сходимости. Алгоритм исследования степенного ряда на сходимость.

16. Свойства степенных рядов. Теорема единственности разложения функции в степенной ряд.

17. Ряд Тейлора. Необходимые и достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.

18. Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена).

19. Табличные разложения основных элементарных функций.

20. Приложения степенных рядов: вычисление приближенного значения функций в точке , нахождение приближенных значений корней.

21. Приближенной вычисление значений логарифмов, приложение степенных рядов для вычисления пределов и интегралов, решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков с переменными коэффициентами.

22. Понятие периодической функции, ее свойство.

23. Бесконечная сумма тригонометрических функций, ее свойство. Понятие круговой частоты, колебания функции, частоты колебания. Связь между круговой частотой и частотой колебания. Тригонометрический многочлен: его вещественная и комплексная формы.

24. Свойства системы тригонометрических функций. Формулы Эйлера Фурье.

25. Комплексная форма записи формул Эйлера-Фурье.

26. Понятие тригонометрического ряда и ряда Фурье.

27. Условия сходимости ряда Фурье к функции f(x). Теорема Дирихле. Алгоритм разложения функции на отрезке в ряд Фурье.

28. Ряды Фурье для четных и начетных функций.

29. Разложение в ряд Фурье четной периодической функции, заданной на отрезке [-T/2, T/2]

30. Разложение в ряд Фурье нечетной периодической функции, заданной на отрезке [-T/2, T/2]

31. Разложение в ряд Фурье по косинусам и по синусам функции, заданной на отрезке [0, T/2].

32. Связь вещественной формы ряда Фурье с гармоническими колебаниями.

33. Выражение коэффициентов ряда Фурье через амплитуды и фазы гармонического колебания. Спектральные характеристики вещественной формы ряда Фурье.

34. Связь комплексной формы ряда Фурье с комплексным гармоническим колебанием.

35. Спектральные характеристики комплексной формы ряда Фурье.

36. Интеграл Фурье в комплексной форме.

37. Достаточные условия представления функции рядом Фурье.

38. Вещественная форма интеграла Фурье.

39. Преобразования Фурье (прямое и обратное) в комплексной форме.

40. Спектральные характеристики интеграла Фурье: спектральная плотность, амплитудный спектр, фазовый спектр.

41. Прямое и обратное преобразование Фурье в вещественной форме. Синус и косинус преобразования Фурье.

Экзамен.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ

КУРС, ОСЕННИЙ СЕМЕСТР, 5 ФАКУЛЬТЕТ (102 часа)

ТФКП

1. Последовательности комплексных чисел: определение последовательности к.ч., критерий сходимости последовательности комплексных чисел, свойства сходящихся последовательностей.
2. Понятие бесконечно удаленной точки, расширенной комплексной плоскости, геометрическая иллюстрация, сфера Римана.
3. Понятие комплексного числового ряда, связь между комплексным и действительным числовым рядом, необходимый признак сходимости комплексного числового ряда, теорема о абсолютной сходимости.
4. Степенные комплексные ряды, теорема Абеля, понятие радиуса сходимости и его нахождение.
5. Комплексная функция действительного переменного: определение, геометрическая иллюстрация, понятие производной.
6. Кривые и области на комплексной плоскости.
7. Понятие функции комплексного переменного. Предел функции комплексного переменного: определение по Коши и по Гейне. Теорема о существовании предела функции комплексного переменного. Теоремы о конечных пределах.
8. Непрерывность функции комплексного переменного: определение, необходимое и достаточное условие непрерывности, непрерывность на множестве, арифметические операции над непрерывными функциями, непрерывность сложной функции, равномерная непрерывность.
9. Понятие производной функции комплексного переменного в точке, определение дифференцируемости функции в точке, эквивалентость дифференцируемости и существования производной функции в точке.
10. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного (Условия Коши-Римана, Даламбера-Эйлера).

11. Понятие аналитической в точке и в области функции, определение гармонической функции, теорема о гармоничности вещественной и мнимой частей аналитической функции, сопряженные гармонические функции, теорема о связи между гармоничностью и аналитичностью.

1. Восстановление аналитической в области функции по ее известной действительной или мнимой части.
2. Основные элементарные функции комплексного переменного. Формулы Эйлера.
3. Понятие интеграла от функции комплексного переменного и его сведение к криволинейному интегралу 2-го рода.
4. Понятие интерала от функции комплексного переменного и его преобразование в интеграл от комплексной функции действительного переменного.
5. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.
6. Интегральная теорема Коши для односвязной области и следствие из нее.
7. Определение определенного интеграла с переменным верхним пределом от функции комплексного переменного и его свойства.
8. Понятие первообразной, формула Ньютона-Лейбница.
9. Обобщение интегральной теоремы Коши (без док-ва), интегральная теорема Коши для многосвязной области.
10. Интегральная формула Коши и ее обобщение.
11. Равномерно сходящиеся последовательности аналитических функций, их свойства, понятие равномерно сходящегося ряда аналитических функций, достаточный признак равномерной сходимости функционального ряда компл. пер., свойства равномерно сходящихся рядов. Аналитичность суммы сходящегося степенного ряда.
12. Понятие ряда Тейлора для функции комплексного переменного теорема о разложимости аналитической функции вряд Тейлора. Единственность этого разложения.
13. Нули аналитической функции, Разложение в ряд Тейлора в окрестномти нуля.
14. Разложение аналитической в кольце функции в ряд Лорана.
15. Особые точки однозначных функций комплексного переменного. Классификация изолированных особых точек.
16. Критерии выявления типа изолированных особых точек функции к.п.
17. Понятие вычета и его вычисление для всех типов изолированных особых точек.
18. Основная теорема о вычетах и следствие из нее.
19. Приложения теории вычетов: вычисление контурных интегралов, определенных интегралов, несобственных интегралов.

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

1. Понятие оригинала, изображения, преобразования Лапласа. Теоремы о существовании и аналитичности изображения. Примеры простейших оригиналов и их изображений.
2. Свойства преобразования Лапласа: теорема линейности (вывод формул для изображений оригиналов sin wt, cos wt, sh wt, ch wt); теорема подобия.
3. Свойства преобразования Лапласа: теоремы о дифференцировании оригинала и изображения и следствия из них.
4. Свойства преобразования Лапласа: теоремы об интегрировании оригинала и изображения.
5. Свойства преобразования Лапласа: теоремы запаздывания и смещения (вывод формул для изображений оригиналов , , , ).
6. Свертка двух функций и ее свойства. Свойство преобразования Лапласа: теорема умножения.
7. Свойство преобразования Лапласа: интеграл Дюамеля.
8. Определение оригинала по изображению: первая и вторая теорема разложения.
9. Применение преобразования Лапласа: решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
10. Применение преобразования Лапласа при решении систем дифференциальных уравнений.
11. Применение интеграла Дюамеля при решении линейных дифференциальных уравнений.
12. Применение преобразования Лапласа: решение интегральных уравнений типа свертки.