Четырехугольная призма. Параллелепипед.

Тема: «Призма. Объём и площадь поверхности призмы»

План

1. Основные элементы многогранников.

2. Треугольная призма. Прямая и наклонная призмы. Правильная призма.

3. Четырехугольная призма. Параллелепипед.

4. Площадь поверхности призмы.

5. Объём прямой призмы.

6. Решение задач по данной теме.

1. Основные элементы многогранников.

Основными элементами многогранника являются грани, ребра,

вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Рис. 1

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1).

Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 2).

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В,ABCD,

Рис. 2

A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁,ВВ₁,СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁.

Треугольная призма. Прямая и наклонная призмы.

Правильная призма.

Важным частным случаем многогранника является призма.

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 3).

Равные треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в

параллельных плоскостях α и β так, что ребра АА₁, ВВ₁, СС₁

Рис. 3

параллельны.

То есть АВСА₁В₁С₁ – треугольная призма, если:

1) Треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны.

2) Треугольники АВС и А₁В₁С₁ расположены в параллельных плоскостях α и β: ABC ║ А₁B₁C (α ║ β).

3) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁ параллельны.

АВС и А₁В₁С₁ – основания призмы.

АА₁, ВВ₁, СС₁ – боковые ребра призмы.

Если с произвольной точки Н₁ одной плоскости (например, β) опустить перпендикуляр НН₁ на плоскость α, то этот перпендикуляр называется высотой призмы.

Определение. Если боковые ребра перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, а в противном случае – наклонной.

Рассмотрим треугольную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 4).

Эта призма – прямая. То есть, ее боковые ребра перпендикулярны

основаниям. Например, ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС.

Ребро АА₁ является высотой этой призмы. Заметим, что боковая грань

АА₁В₁В перпендикулярна к основаниям АВС и А₁В₁С₁, так как она

Рис. 4

проходит через перпендикуляр АА₁ к основаниям.

Теперь рассмотрим наклонную призму АВСА₁В₁С₁ (рис. 5).

Здесь боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания.

Если опустить из точки А₁ перпендикуляр А₁Н на АВС, то этот

перпендикуляр будет высотой призмы. Заметим, что

отрезок АН – это проекция отрезка АА₁ на плоскость АВС.

Тогда угол между прямой АА₁ и плоскостью АВС это угол

Рис. 5

между прямой АА₁ и её АН проекцией на плоскость, то есть

угол А₁АН.

Определение. Прямая призма называется правильной, если её основания – правильные многоугольники (рис.6).

Рассмотрим правильную треугольную призму АВСА₁В₁С₁.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, это значит,

что в основаниях лежат правильные треугольники, то есть

все стороны этих треугольников равны. Также данная

Рис. 6

призма - прямая. Значит, боковое ребро перпендикулярно

плоскости основания. А это значит, что все боковые грани – равные прямоугольники.

Итак, если треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – правильная, то:

1) Боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то есть является высотой: AA₁ ⊥ АВС.

2) В основании лежит правильный треугольник: ∆ АВС – правильный.

Четырехугольная призма. Параллелепипед.

Рассмотрим четырехугольную призму ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 7).

Рассмотрим, как она получается.

1) Четырехугольник ABCD равен четырехугольнику A₁B₁C₁D₁:

ABCD = A₁B₁C₁D₁.

Рис.7

2) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных

плоскостях α и β: ABC ║ А₁B₁C (α ║ β).

3) Четырехугольники ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены так, что боковые ребра параллельны, то есть: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁.

Определение. Диагональ призмы – это отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани. Например, АС₁ – диагональ

4-ёхугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁.

Частным случаем четырёхугольной призмы является известный

нам параллелепипед (рис. 8). Рассмотрим, как он устроен:

Рис.8

1) В основаниях лежат равные фигуры. В данном случае – равные

параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁: ABCD = A₁B₁C₁D₁.

2) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ лежат в параллельных плоскостях α и β: ABC ║ A₁B₁C₁ (α ║ β).

3) Параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁ расположены таким образом,

что боковые ребра параллельны между собой: АА₁║ВВ₁║СС₁║DD₁. Из точки А₁ опустим перпендикуляр АН на плоскость АВС. Отрезок А₁Н является высотой.