Второй дифференциал сложной функции двух переменных.

Введение.

Сформулируем некоторые факты из теории функций многих переменных, которые понадобятся нам далее.

Определение: функция z=f(u,v) называется дифференцируемой в точке (u, v), если ее приращение Δz представимо в виде:

Линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается dz.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости) см[1].

Если в некоторой окрестности т.(u, v) существуют непрерывные частные производные и , то функция f(u, v) дифференцируема в этой точке и

(du=Δu, dv=Δv). (1)

Определение: Вторым дифференциалом функции z=f(u, v) в данной точке (u, v) называется первый дифференциал от первого дифференциала функции f(u, v), т.е.

Из определения второго дифференциала z=f(u, v), где u и v – независимые переменные, следует

Таким образом, справедлива формула:

(2)

При выводе формулы использована теорема Шварца о равенстве смешанных производных . Это равенство справедливо при условии, что определены в окрестности т.(u, v) и непрерывны в т.(u, v). cм[1].

Формула для нахождения второго дифференциала может быть записана символически в следующем виде: – формальное возведение скобки в квадрат с последующим формальным умножением справа на f(x y) дает полученную ранее формулу [1]. Аналогично справедлива формула для 3-го дифференциала:

и вообще:

, где формальное возведение в n-ую степень производится по формуле бинома Ньютона:

;

Отметим, что первый дифференциал функции двух переменных обладает свойством инвариантности формы. То есть, если u и v — независимые переменные, то для функции z=f(u, v), согласно (1)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), тогда z=f(u(x y), v(x y)), x и y — независимые переменные, тогда

Используя известные формулы для производной сложной функции:

Тогда из (3) и (4) получим:

Таким образом,

(5)

где — первый дифференциал функции u, — первый дифференциал функции v.

Сравнивая (1) и (5), видим, что формальная запись формулы для dz сохраняется, но если в (1) du=Δu, dv=Δv — приращения независимых переменных, то в (5) du и dv — дифференциалы функций u и v.

Второй дифференциал сложной функции двух переменных.

Прежде всего, покажем, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Пусть z=z(u, v) в случае независимых переменных u и v второй дифференциал находим по формуле (2)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), где независимые переменные x и y. Тогда

Итак, мы получили окончательно:

Формулы (2) и (6) не совпадают по форме, следовательно, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

Ранее были выведены формулы частных производных 1-го порядка для сложной функции z=f(u, v), где u=u(x y), v=v(x y), где x и y — независимые переменные см [1].

Выведем формулы для вычисления частных производных и дифференциала второго порядка для функции z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), где x и y — независимые переменные.

Для функций u(x y), v(x y) независимых переменных x, y имеем формулы: