Второй дифференциал сложной функции двух переменных.




Введение.

Сформулируем некоторые факты из теории функций многих переменных, которые понадобятся нам далее.

Определение: функция z=f(u,v) называется дифференцируемой в точке (u, v), если ее приращение Δz представимо в виде:

 

 

Линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается dz.

 

 

Теорема (достаточное условие дифференцируемости) см[1].

Если в некоторой окрестности т.(u, v) существуют непрерывные частные производные и , то функция f(u, v) дифференцируема в этой точке и

 

(du=Δu, dv=Δv). (1)

 

Определение: Вторым дифференциалом функции z=f(u, v) в данной точке (u, v) называется первый дифференциал от первого дифференциала функции f(u, v), т.е.

Из определения второго дифференциала z=f(u, v), где u и v – независимые переменные, следует

 

 

Таким образом, справедлива формула:

 

(2)

 

При выводе формулы использована теорема Шварца о равенстве смешанных производных . Это равенство справедливо при условии, что определены в окрестности т.(u, v) и непрерывны в т.(u, v). cм[1].

Формула для нахождения второго дифференциала может быть записана символически в следующем виде: – формальное возведение скобки в квадрат с последующим формальным умножением справа на f(x y) дает полученную ранее формулу [1]. Аналогично справедлива формула для 3-го дифференциала:

и вообще:

, где формальное возведение в n-ую степень производится по формуле бинома Ньютона:

;

Отметим, что первый дифференциал функции двух переменных обладает свойством инвариантности формы. То есть, если u и v — независимые переменные, то для функции z=f(u, v), согласно (1)

 

 

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), тогда z=f(u(x y), v(x y)), x и y — независимые переменные, тогда

 

 

Используя известные формулы для производной сложной функции:

 

 

Тогда из (3) и (4) получим:

 

.

 

Таким образом,

 

(5)

 

где — первый дифференциал функции u, — первый дифференциал функции v.

Сравнивая (1) и (5), видим, что формальная запись формулы для dz сохраняется, но если в (1) du=Δu, dv=Δv — приращения независимых переменных, то в (5) du и dv — дифференциалы функций u и v.

Второй дифференциал сложной функции двух переменных.

Прежде всего, покажем, что второй дифференциал не обладает свойством инвариантности формы.

Пусть z=z(u, v) в случае независимых переменных u и v второй дифференциал находим по формуле (2)

Пусть теперь u=u(x y), v=v(x y), z=z(u(x y), v(x y)), где независимые переменные x и y. Тогда

 

.

 

Итак, мы получили окончательно:

 

 

Формулы (2) и (6) не совпадают по форме, следовательно, второй дифференциал не обладает свойством инвариантности.

Ранее были выведены формулы частных производных 1-го порядка для сложной функции z=f(u, v), где u=u(x y), v=v(x y), где x и y — независимые переменные см [1].

 

 

Выведем формулы для вычисления частных производных и дифференциала второго порядка для функции z=f(u, v), u=u(x y), v=v(x y), где x и y — независимые переменные.

Для функций u(x y), v(x y) независимых переменных x, y имеем формулы:

 

 

Подставим формулы (8) в (6).

 

 

Таким образом, получили формулу для дифференциала второго порядка сложной функции двух переменных.

 

 

Сравнивая коэффициенты при для частных производных второго порядка сложной функции двух переменных в (2) и (9), получаем формулы:

.

 

Пример 1 см [2]

Пусть z=f(u, v), u=xy, v= . Найти второй дифференциал.

Решение: вычисляем частные производные:

, , , ,

, ,

 

Подставив полученные результаты в (9), получаем ответ:

 

 

Важные частные случаи.

1. Рассмотрим случай, когда z=f(u, v), u=u(t), v=v(t).

Для первого дифференциала имеем:

 

;

 

Если в формуле (9) положить x≡t и учесть, что все производные по y отсутствуют, то получим:

 

 

Отметим, что в квадратных скобках формулы (13) стоит формула производной второго порядка для случая, если z=f(u, v), где u=u(t), v=v(t).

2. Рассмотрим случай, когда z=f(u), где u=u(x y).

Для первого дифференциала имеем:

 

 

Далее по формуле (6):

 

 

Сравнивая коэффициенты при , получаем формулы для вторых частных производных:

 

 

Пример 2 см [3].

Пусть . Найти .

Решение: обозначим u= . Находим частные производные:

 

 

 

Находим второй дифференциал:

 

 

3. Рассмотрим случай, когда z=f(x y), y=y(x).

Для первого дифференциала имеем:

 

Далее из 1.получаем:

Список литературы:

 

1.Архипов Г.И. Садовничий В.А. Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М.: Дрофа, 2004

2.Виноградова И.Л. Олехник С.Н. Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу М.В.Ш., 2002

3.Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука,1990.

Интернет-источники

 

1.https://sibac.info/conf/naturscience/xxx/41991

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-04-14 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: