Свойства числовой последовательности.

Числовая последовательность называется возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего, иными словами, если для всякого верно неравенство .(аналогично дается определение убывающей числовой последовательности)

Например 1, 3, 5, 7 2_{n -1},... — возрастающая последовательность.

Например — убывающая последовательность.

Последовательность называется монотонной, если она является либо возрастающей, либо убывающей.

Последовательность а₁, а₂,…,а_n.. называется ограниченной, если для ее членов можно указать общую границу, т.е. если существует такое число С, что неравенство выполняется для всех номеров n.

Иными словами, последовательность (y_n) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство

Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16,..., — п ²,... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Последовательность (у_n) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство . Число m называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16,..., п ²,... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности (у_п) и (х_п).

(у_n): 1,3, 5,7,9,...,2 _n-1,...; (x_n):

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 1 для (у_п) и рис. 2 для (х_п)). Замечаем, что члены второй последовательности (х_n) как бы «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (у_п) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (х_n) сходится, а последовательность (у_п) расходится.

Рисунок 1

Рисунок 2

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на данный вопрос, введем новый математический термин.

Пусть а — точка прямой, а r — положительное число. Интервал (а - r, а + r) называют окрестностью точки а (рис. 3), а число r— радиусом окрестности.

Какова окрестность точки 6, если радиус этой окрестности равен 0,02? Ответ: (5,98; 6,02), так как 6-0,02˂ 6 ˂ 6+0,02

a-r ˂ a ˂ a+r

Рисунок 3

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но термин «точка сгущения для членов заданной последовательности» обычно заменяют термином «предел последовательности».

Число b называется пределом последовательности (y_n), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

Пишут либо так: (читают: у_п стремится к b или у_п сходится к b), либо так:

(читают: предел последовательности у_nпри стремлении n к бесконечности равен b; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).

Правила вычисления пределов последовательности

Пример 1: Дана последовательность

- Как вы считаете, чему равен предел данной последовательности?

Докажем, что

Рисунок 4

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен r (Рис.4). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n₀ так, чтобы выполнялось неравенство . Если, например r=0.001,то в качестве n₀ можно взять 1001, поскольку ; если , то в качестве n₀ можно взять 5774, поскольку , и т.д. Но это значит, что член последовательности y_n с номером n₀, т.е. , попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находится все последующие члены заданной убывающей последовательности .

Пример 2: Найти предел последовательности

Здесь последовательность сходится к 0: или

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем общего утверждения: если

А что будет с последовательностью , если ? Пусть, например, q=2, т.е. речь идет о последовательности 2,2²,2³,…,2ⁿ,… Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение: если , то последовательность расходится.