Тема 1. Введение в финансовую математику.
§1. Предмет и задачи финансовой математики. Финансовая математика как основа количественного анализа финансовых операций.
§2. Время как фактор в финансовых расчетах. Концепция временной стоимости денег.
§3. Проценты, процентные деньги, виды процентных ставок. Операции наращения и дисконтирования.
Предмет и задачи финансовой математики. Финансовая математика как основа количественного анализа финансовых операций.
Финансовая математика (ФМ) представляет собой особую область знаний, предметом которой является количественный анализ условий (параметров) и результатов финансово-кредитных операций, инвестиционных проектов, коммерческих сделок. К таким параметрам относятся:
- стоимостные характеристики (размеры платежей, долговых обязательств, кредитов и т.д.). Платежи могут быть единовременными (разовыми) или в рассрочку, постоянными или переменными во времени;
- временные параметры (даты или сроки погашения задолженности, интервалы поступлений доходов, продолжительность льготных периодов, отсрочки платежей и т.д.);
- процентные ставки (существует множество видов процентных ставок и методов начисления процентов).
В рамках одной финансовой операции перечисленные показатели образуют сложную систему, подчиненную соответствующей логике. В связи со множественностью параметров конечные результаты часто неочевидны. Изменение значения даже одной величины в системе обязательно скажется на результатах соответствующей операции. Поэтому такие системы являются объектом приложения количественного финансового анализа. Методы этого анализа и составляют предмет финансовой математики.
Рамки ФМ достаточно широки – от элементарных начислений процентов до относительно сложных расчетов, например, снижение риска путем диверсификации портфеля ценных бумаг.
Основные задачи ФМ:
- измерение конечных финансовых результатов операции (сделки, контракта) для каждой из участвующих сторон;
- учет ценных бумаг;
- установление взаимосвязи между отдельными параметрами сделки и определение параметров сделки, исходя из заданных условий;
- анализ последствий изменения условий операции;
- разработка планов выполнения финансовых операций;
- определение эквивалентности параметров сделки для получения равной отдачи от затрат, произведенных различными способами.
К числу наиболее современных задач ФМ относится оптимизация портфеля активов и портфеля задолженности.
На практике методы ФМ применяются в банковском деле, страховании, оценке инвестиционных проектов, в работе финансовых организаций, фондовых и валютных бирж, на рынке недвижимости.
Время как фактор в финансовых расчетах. Концепция временной стоимости денег.
В финансовых операциях суммы денег всегда связаны с конкретными моментами или периодами времени. В финансовых документах обязательно фиксируются сроки, даты, периодичность выплат. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, иногда играет даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Суть этого явления отражает концепция временной стоимости денег: ценность денег с течением времени меняется, в связи с чем, равные по абсолютной величине суммы денег, относящиеся к разным моментам времени, не равноценны. Причина заключается не только в существовании инфляции и риска их неполучения. Имеющиеся сегодня деньги могут быть инвестированы и принести доход в будущем.
Влияние фактора времени многократно усиливается в период инфляции. В выигрыше оказываются дебиторы, проигрывают кредиторы.
Из принципа изменения ценности денег во времени следует неправомерность суммирования и сравнения денежных величин, относящихся к разным моментам времени, при принятии решений финансового характера (что вполне допустимо там, где фактор времени не имеет принципиального значения, например, в бухучете). Их сравнение допустимо только при «приведении» таких сумм к одному моменту времени.
Проценты, процентные деньги, виды процентных ставок. Операции наращения и дисконтирования.
Проценты (процентные деньги) – абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой его форме (ссуда, продажа товара в кредит, банковский вклад, покупка облигации и т.д.).
Пусть в долг предоставлена некоторая сумма PV (present value) с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV (future value). Тогда результативность сделки может быть определена либо с помощью абсолютного показателя дохода – проценты (FV - PV), либо при помощи некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели часто не подходят для оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом – ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы (т.е. дохода) к базовой величине, в качестве которой можно взять либо PV, либо FV.
it = (FV-PV) / PV - процентная ставка (ставка процента, норма прибыли, доходность)
dt = (FV-PV) / FV – учетная ставка (дисконт)
Процесс увеличения суммы денег во времени в связи с присоединением процентов называют наращением. В этом случае задана исходная сумма и ставка (процентная или учетная). Искомая величина называется наращенной суммой.
Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина – приведенной суммой.
Настоящее Будущее
Исходная сумма Возвращаемая
Ставка сумма
Приведенная Ожидаемая к поступлению сумма
Сумма Ставка
FV = PV + PV * it = PV(1 + it)
Величина FV показывает будущую стоимость «сегодняшней» величины PV при заданном уровне доходности.
PV = FV- FV * dt = FV(1 - dt)
Искомая величина PV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины FV.
Ставка может измеряться в виде десятичной или обыкновенной дроби, либо в процентах.
ПРИМЕР: Предприятие получило кредит на 1 год в размере 50 тыс. руб. с условием возврата 70 тыс. руб. Рассчитать процентную ставку и дисконт. (40% и 28,57%).
Проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивным и, по учетной ставке – антисипативными.
Различают 2 схемы начисления процентов:
- схема простых процентов (предполагает неизменность базы начисления);
- схема сложных процентов (за базу принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования, т.е. проценты начисляются на проценты).
Процентные ставки могут быть фиксированными (в контракте указываются их размеры) или плавающими. В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней - маржи.
Существует 2 способа начисления процентов:
- процентная ставка (простая или сложная) применяется к фактической сумме долга (начисляется на остаток);
- простые проценты начисляются сразу на всю сумму долга без учета последовательного его погашения.
В практических расчетах применяют дискретные проценты (проценты начисляются за фиксированные интервалы времени). В доказательствах, аналитических финансовых расчетах и значительно реже на практике используют непрерывные проценты (наращение и дисконтирование производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени).
Период начисления – отрезок времени между двумя следующими друг за другом процедурами начисления процентов (год, полугодие, месяц, квартал, день). Не путать со сроком начисления!
 |
Размер процентной ставки определяется общим состоянием экономики, в т.ч. кредитно-денежного рынка, ожиданиями его динамики; видом сделки, ее валюты, сроком кредита; особенностями заемщика (его надежность, кредитная история) и кредитора.