Подобия в прямоугольном треугольнике

МАТЕМАТИКА

в формулах и таблицах

 

Справочное пособие

 

 

Новосибирск

2000 г.

В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов.

Математика в формулах и таблицах. Справочное пособие

 

 

Справочное пособие содержит формулы, таблицы, графики по математике, охватывающие основные разделы элементарной математики - алгебры и геометрии. Оно предназначено для абитуриентов при подготовке к вступительным экзаменам, а также для студентов дневного и заочного обучения при изучении высшей математики и других дисциплин.

 

Кафедра высшей математики

Рецензент: И.И.Резван

Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебного пособия.

 

 

Ó Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2000 г.

Ó В.И.Агульник, Б.П.Зеленцов, 2000 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

1. ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ…………………………………

2. ФОРМУЛЫСОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ …………

3. СТЕПЕНИ И КОРНИ ……………………………………….

4. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ………

5. ПРОГРЕССИИ ………………………………………………

6. ЛОГАРИФМЫ………………………………………………

7. ТРИГОНОМЕТРИЯ ………………………………………

8. ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ……………

9. ПЛАНИМЕТРИЯ …………………………………………

10. СТЕРЕОМЕТРИЯ …………………………………………

ЛИТЕРАТУРА …………………………………………………

 

ЧИСЛА, ДРОБИ, МОДУЛИ

n Î N - множество натуральных чисел {1, 2, 3, …}

d = НОД (n, m) - наибольший общий делитель n и m

k = НОК (n, m) - наименьшее общее кратное n и m

Z = множество целых чисел

Q = - множество рациональных чисел (дробей)

R – множество действительных чисел

Арифметические операции с дробями:

; ; ;

; ; ;

Пропорция ;

Модуль числа. Определение: ;

Свойства модуля:

; ; ;

a+b

a

a-b

; x

 

;

a+b

a

a-b

x

ФОРМУЛЫСОКРАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯ

; ;

;

;

;

; ;

СТЕПЕНИ И КОРНИ

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ;

 

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

;

Корни уравнения: , где - дискриминант.

Формулы Виета: ; .

Разложение квадратного трехчлена на множители:

.

Приведенное уравнение: ; .

Квадратное неравенство:

Если D >0, a >0, - корни квадратного трехчлена, , то

Þ ;

Þ .

ПРОГРЕССИИ

Арифметическая прогрессия:

Общий член: , , где - разность прогрессии;

Сумма членов .

Геометрическая прогрессия

Общий член: , где - знаменатель прогрессии;

Сумма членов .

Сумма геометрической прогрессии (при ): .

Некоторые суммы:

; ;

;

; ;

 

ЛОГАРИФМЫ

Логарифм числа по основанию :

.

Основное логарифмическое тождество: .

Свойства логарифмов:

; ;

; ; .

Десятичные логарифмы : .

Натуральные логарифмы : .

Логарифмические неравенства:

.

Показательные неравенства:

.

 

ТРИГОНОМЕТРИЯ

Основные соотношения

;

; ;

; ; ;

; ;

7.2. Перевод из радианной меры углов в градусную и обратно:

; ;

Основные значения тригонометрических функций

 

Знаки тригонометрических функций

Формулы сложения

; ;

; ;

; ;

; ;

Формулы двойных углов

;

;

; ;

Формулы тройных углов

; ;

; ;

Формулы половинных углов

; ;

; ;

;

Универсальная тригонометрическая подстановка, используемая для решения тригонометрических уравнений:

; ; ; ;

Формулы приведения

sin	– sin j	cos j	± sin j	– cos j	± sin j
cos	cos j	± sin j	– cos j	± sin j	cos j
tg	–tg j	± ctg j	± tg j	± ctg j	± tg j
ctg	–ctg j	± tg j	± ctg j	± tg j	± ctg j

 

Формулы преобразования суммы и разности

; ;

; ;

, где ;

; ;

; .

 

Формулы преобразования произведения

; ;

.

Обратные тригонометрические функции

;

;

;

.

Простейшие тригонометрические уравнения

1) ; ; .

Частные случаи: ; ;

; ;

; .

2) ; ; .

Частные случаи: ; ;

; ;

; .

3) , ; .

4) ; ; .

 

RefM499.doc

8. Графики основных элементарных функций

Парабола

Гипербола

 

 

 

		y = ctg x		y = tg x

 

ПЛАНИМЕТРИЯ

10.1. Треугольник

10.1.1. Основные соотношения

A,B,C – вершины aa,b,c – стороны a,b,g - углы

- неравенства треугольника; ;

теорема проекций

теорема синусов

теорема косинусов

10.1.2. Замечательные линии и точки в теугольнике

m_a, m_b, m_c - медианы

h_a, h_b, h_c - высоты

l_a, l_b, l_c - биссектрисы

p - полупериметр,

r - радиус вписанной окружности

R – радиус описанной окружности

; ;

; ;

10.1.3. Формулы площади треугольника

(формула Герона)

 

Разбиение треугольника медианами

C     A D B

Свойство биссектрисы треугольника

 

10.1.4. Прямоугольный треугольник

a b     c

(теорема Пифагора)

;

C     A D B

;

или

(CD - высота, опущенная на гипотенузу)

Подобия в прямоугольном треугольнике

10.1.5. Правильный треугольник

p=3a (p - периметр)

Четырехугольники

10.2.1. Квадрат

S = a ²

10.2.2. Прямоугольник

p=2(a+b) (p - периметр)

S=ab

10.2.3. Параллелограмм

p=2(a+b) (p - периметр)

a

a

10.2.4. Ромб

 

10.2.6. Трапеция

 

Свойства трапеции

1. Во всякой трапеции середины

оснований К, М лежат на прямой,

проходящей через точку пересечения

диагоналей О и точку пересечения

продолжений боковых сторон.

	K

2. Средняя линия трапеции параллельна

основаниям и равна их полусумме.

a

 

Окружность и круг.

Длина окружности

длина дуги окружности

(n - величина дуги в градусах, j - величина дуги в радианах).

Площадь круга

площадь кольца

.

Площадь сектора

; (a - величина дуги в градусах)

 

Свойства окружности

1) касательная и радиус, проведенный в точку касания,

перпендикулярны: r ^ l

 

 

2) отрезки касательных, проведенные к окружности

из точки, лежащей вне ее, равны, т.е.

AB = AC

 

3) диаметр, перпендикулярный хорде, делит ее пополам; диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

(AB) ^ (CD) Û CK = KD

 

4) квадрат длины касательной равен произведению длины

секущей на ее внешнюю часть:

AB ² =

 

5) центры касающихся окружностей О₁, О₂ и точка их касания М лежат на одной прямой.

 

 

C

6) в четырехугольник можно вписать окружность тогда и

только тогда, когда суммы длин противоположных

сторон равны, т.е.:

AB + BC = AB + CD

 

 

7) около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна

180⁰, т.е.:

 

Следствия из свойства 7):

- из всех параллелограммов только около прямоугольника можно описать окружность;

- около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда она равнобокая;

 

8) центральный угол измеряется градусной мерой дуги, на

которую он опирается:

ÐО = Èa

 

9) величина вписанного угла в два раза меньше центрального

угла, опирающегося на эту же дугу

Ð AOC = 2Ð ABC

 

10) вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, имеют одинаковую величину

Ð ABD = Ð ACD

СТЕРЕОМЕТРИЯ

11.1. Куб

Объем

V = a ³

Площадь поверхности

S = 6a²

 

11.2. Параллелепипед

Объем

(S - площадь основания, h - высота)