Перевод десятичных чисел в другие системы счисления и обратно

Перевод целых чисел

Алгоритм перевода. Пусть - десятичное целое число. Тогда в расположении отсутствуют коэффициенты с отрицательными индексами. Данное число представляется в виде:

1. Число разделим на q. Неполное частное равно:

2. Полученное неполное частное опять делим на q, остаток отделения равен .

3. Продолжаем данный процесс деления, пока на n-м шаге не получим набор цифр: которые входят в q – ичное представление числа и совпадают с остатками при последовательном делении данного числа на q.

4. Запишем десятичное число в новой системе счисления, начиная запись с последнего частного:

Пример 1. Переведите число в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления .

Результат 1:

Проверка 1:

_123
	_15
3

Результат 2:

Проверка 2:

Результат 3:

Проверка 3:

Перевод дробных чисел

Алгоритм перевода. Пусть - правильная десятичная дробь. Тогда в разложении отсутствуют коэффициенты с положительными индексами. Данное число представим в виде:

(6)

1. Для нахождения коэффициентов входящих в запись числа в q –ичной системе счисления, умножим левую и правую части выражения (6) на q. В результате в правой части получим . Целая часть равна , является старшим коэффициентом в разложении числа по степеням q.
2. Оставшуюся дробную часть умножим на q: , где цифра представляет собой второй коэффициент после запятой q- ичном представлении исходного числа.
3. Продолжаем перемножение дробной части на q до тех пор, пока в правой части не получим нуль или не будет достигнута необходимая точность вычислений.

Пример 2. Переведите десятичную дробь 0,5625 в двоичную систему исчисления.

0,

Результат: .

Пример 3. Переведите десятичную дробь 0,65625 в восьмеричную и шестнадцатеричную системы исчисления.

0,       Результат: .

0, 10(A)     Результат: .

Пример 4. Переведите десятичную дробь 0,7 в восьмеричную систему исчисления.

0,
…….

Даны процесс может продолжаться бесконечно. Такой бесконечный процесс завершается на некотором шаге, когда считается, что получена требуемая точность представления числа.

Пример 5. Переведите десятичную дробь 0,101 в двоичную систему исчисления. В двоичной записи сохраните четыре знака.

0,
…….

Результат: .

Перевод смешанных чисел

Перевод смешанных чисел, содержащих целую и дробные части, осуществляется в два этапа. Целая и дробная части исходного числа переводятся согласно приведенным выше алгоритмам. В итоговой записи в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой или точкой.

Пример 6. Переведите число 12,25 в двоичную систему счисления.

Переведем целую часть:

_12
	_6
0		_3

Переведем дробную часть:

0,

Результат: .

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим арифметические операции на примере двоичной системы счисления. Рассмотрим таблицы сложения, вычитания и умножения.

Сложение в двоичной системе счисления

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10

Примеры. Выполните операцию сложения над двоичными числами: