В различных разделах математики рассматриваются последовательности вида: (x 1, x 2), (x 1, x 2, x 3), …, (x 1, x 2, x 3, …, xn). Такие последовательности называют двух-, трех-, …, n- мерными векторами, а числа x 1, x 2, x 3, …, xn - координатами векторов В дискретной математике часто используются двоичные векторы или векторы над полем В ={0,1}. Координатами таких векторов служат числа 0 или 1. Фактически, n -мерный двоичный вектор – это последовательность из n нулей и единиц.
Двоичные векторы можно покоординатно складывать, находить их скалярное произведение, используя при этом следующие таблицы:
| Å | ´ | |||||
Операции «Å» и «´» называют сложением и умножением по модулю два соответственно
Пример. Даны векторы 
=(0,1,1,0,1), 
=(1,0,1,1,1) над полем В ={0,1}. Найти Å 
и скалярное произведение × .
Р е ш е н и е.
Å =(0Å1,1Å0,1Å1,0Å1,1Å1)=(1,1,0,1,0).
× =0×1Å1×0Å1×1Å0×1Å1×1=0 
и ортогональны.
Переменные, принимающие значения на двухэлементном множестве, называют булевыми переменными: 
булева переменная.
В различных технических устройствах используются логические элементы: конъюнкторы, дизъюнкторы, инверторы и др. Основная цель использования схем логических элементов – преобразование информации, подаваемой на входы схемы.
Инвертор – устройство с одним входом и одним выходом, преобразующее входной сигнал x в выходной сигнал 
по правилу, указанному в таблице истинности отрицания (рис.1).
Переход от x к можно рассматривать как унарную (одноместную) операцию на множестве булевых переменных. Операцию эту называют отрицанием, символ читают “НЕ x ”. Операция отрицания обладает очевидным свойством, которое называют законом отрицания отрицания:
(отрицание отрицания x есть x).
Конъюнктор – устройство с двумя входами x 1 и x 2 и одним выходом y = x 1 ^ x 2 (рис. 2, а).
Правило преобразования сигналов x 1, x 2 в сигнал y записано в таблице истинности конъюнкции (рис. 13, б). С точки зрения математики конъюнктор выполняет бинарную (двуместную) операцию на множестве булевых переменных, которую называют коньюнкцией. Знак конъюнкции “^” (или “&”) читают как “И”: x 1^ x 2 – x 1 И x 2.
Укажем свойства конъюнкции:
| 1. x 1^ x 2= x 2^ x 1 | - коммутативность |
| 2. (x 1^ x 2) ^ x 3= x 1^(x 2 ^ x 3) | - ассоциативность |
| 3. x = x ^ x | - идемпотентность |
| 4. x ^0=0^ x =0 | - свойство 0 |
| 5. x ^1=1^ x = x | - свойство 1. |
Дизъюнктор – устройство, реализующее бинарную операцию дизъюнкция на множестве булевых переменных, определенную таблицей истинности дизъюнкции (рис. 3).
Знак дизъюнкции “Ú” читают “ИЛИ”: x 1Ú x 2 – x 1 ИЛИ x 2.
Свойства дизъюнкции:
| 1. x 1Ú x 2= x 2Ú x 1; | – коммутативность |
| 2. (x 1Ú x 2) Ú x 3= x 1Ú(x 2Ú x 3); | – ассоциативность |
| 3. x Ú x = x; | – идемпотентность |
| 4. x Ú0= x; | – свойство 0 |
| 5. x Ú1=1. | – свойство 1 |
Операции ¯, Ù, Ú связаны друг с другом следующими равенствами:
Помимо конъюнктора, дизъюнктора и инвертора в логических схемах довольно часто используется устройство, называемое одноразрядным двоичным сумматором, и реализующее сложение по модулю 2 (рис. 4)
Свойства операции сложения по модулю 2
1. x 1  x 2= x 2 x 1;
| – коммутативность |
| 2. (x 1 x 2) x 3= x 1 (x 2 x 3);
| – ассоциативность |
| 3. x x =0;
| |
| 4. x 0= x;
| – свойство 0 |
| 5. x 1= .
| – свойство 1 |
Операция связана с операциями ¯, Ù, Ú следующими равенствами:
| 1. x 1Ù(x 2 x 3)=(x 1Ù x 2) (x 1Ù x 3)
| – дистрибутивность конъюнкции относительно сложения |
| 2. x 1Ú x 2= x 1 x 2 (x 1Ù x 2);
| – выражение дизъюнкции через сложение по модулю 2 |
| 3. x 1 x 2=( 1Ú x 2 ) Ù(x 1Ú 2)
| – выражение сложение по модулю 2 через дизъюнкции |
При выполнении преобразований выражений с булевыми переменными принят следующий порядок выполнения операций:
1. Первой выполняется операция отрицания отдельной булевой переменной.
2. При наличии скобок сначала выполняются действия в скобках.
3. При отсутствии скобок сначала выполняется конъюнкция, а затем по порядку дизъюнкция и сложение.
Обратим внимание на то, то конъюнкция по своим свойствам относительно дизъюнкции и сложения аналогична операции умножения чисел. Поэтому знак конъюнкции «Ù» в выражения с булевыми переменными часто опускается, аналогично тому, как опускается знак умножения в числовых выражениях.
Примеры:
1. (x 1Ù x 2) (x 1Ù x 3) = x 1 x 2 x 1 x 3;
2. (x 1Ù x 2) Ú (x 1Ù x 3) = x 1 x 2Ú x 1 x 3.