Закон сохранения момента импульса




Моментом силы относительно неподвижной точки О (полюса) называется векторная величина , равная векторному произведению

, где

– радиус-вектор, проведённый из точки О в точку А приложения силы.

 

По модулю момент силы равен , где

– плечо силы кратчайшее расстояниеот точки О до линии действия силы.

Главным моментом (результирующим) системы сил относительно точки О называется вектор , равный векторной сумме моментов относительно точки О всех сил системы

.

Моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно неподвижной точки О (полюса) называют вектор

, где

тi и – масса и скорость материальной точки.

Моментом импульса системы относительно неподвижной точки О называют векторную сумму моментов импульса относительно той же точки О всех материальных точек системы:

.

Если твёрдое тело вращается с угловой скоростью вокруг точки О, то момент импульса тела относительно неподвижной точки О

. где

– радиус-вектор, проведённый из точки О в малый элемент тела массой dm;

– скорость этого элемента тела.

Поскольку – векторы и в общем случае не совпадают по направлению

.

 

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси OZ называется физическая величина JZ, равная

, где

mi и Ri масса i –й точки и её расстояние от оси OZ.

Момент инерции твёрдого тела относительно неподвижной оси OZ

, где

dm = ρ.dV – масса малого элемента тела объёмом dV;

ρ – плотность материала твёрдого тела;

R – расстояние от элемента dV до оси OZ.

Если тело однородно, т.е. его плотность всюду одинакова, то

.

Момент инерции тела JZ является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг неподвижной оси OZ подобно тому как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси.

Согласно теореме Штейнера момент инерции тела JO относительно произвольной оси О равен сумме момента инерции тела JС относительно оси С, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела т на квадрат расстояния а между осями

JO = JC + m.а 2.

Доказательство теоремы:

Пусть положение i -го элемента твёрдого тела относительно осей О и С характеризуется векторами и , а положение оси С относительно оси О – вектором , плоскость которого перпендикулярна осям О и С. Воспользовавшись связью между этими векторами , преобразуем выражение для момента инерции тела относительно оси О следующим образом:

, или

.

В правой части этого равенства первая сумма представляет собой момент инерции тела JC i -го элемента твёрдого тела относительно оси С, а последняя сумма равна m.а 2. Покажем, что средняя сумма равна нулю.

Пусть – радиус-вектор i -го элемента твёрдого тела относительно центра масс, тогда относительно центра масс суммарный вектор . Но – это составляющая вектора , перпендикулярная осям О и С. Очевидно, что если суммарный вектор равен нулю, то сумма его составляющих в плоскости, перпендикулярной осям О и С, также равна нулю, т.е. и теорема доказана.

 

Моменты инерции некоторых однородных твёрдых тел:

Тело Положение оси Момент инерции
Обруч или полый тонкостенный цилиндр радиуса R и массы т Ось обруча или цилиндра   mR2
Сплошной цилиндр или диск радиуса R и массы т Ось цилиндра или диска  
Шар радиуса R и массы т Ось проходит через центр шара
Тонкостенная сфера радиуса R и массы т Ось проходит через центр сферы
    Прямой тонкий стержень длины l и массы т Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его середину   Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец      


Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-01 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: