Рассмотрим комплект тестовых заданий по теме «Числовые функции. Сложная функция. Четные нечетные функции. Периодические функции».
При разработке данного комплекта тестовых заданий учитывались следующие моменты:
1) содержание заданий, вопросов охватывает наиболее принципиальные стороны и идеи темы;
2) в задания сделан акцент не на проверку навыков, а на выявление глубины освоения идейного содержания темы, проявлению математической эрудиции;
3) по усмотрению учителя тестовое задание может предлагаться ученикам не полностью, а частями.
4) задания обеспечивают возможность проведения итоговых занятий на заключительном этапе изучения понятия функции в школьном курсе математики.
Комплект тестовых заданий составлен в четырех вариантах и включает двенадцать вопросов. На каждый из них дается четыре ответа для выбора правильного из них. Вопросы в заданиях предлагаются в текстовой и графической формах. Задания рассчитаны на 45 минут работы школьника.
Вариант I
1. Какое равенство не задает функцию?
а) y2 = x2; б) y = x2; в) y = lg x; г) y = 
.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое нельзя рассматривать как график функции?
3) Для каких функций f и g равенство f(g(x)) = x верно не на всей области определения функции f(g(x))?
а) f(x) = tg(x), g(x) = arctg x; б) f(x) = 
, g(x) = x3;
в) f(x) = x2, g(x) = ; г) f(x) = , g(x) = x2.
4) Даны функции f(x) = x2 и g(x) = 
. Какая запись в таком случае верна?
а) f(g(x)) = (
)2; б) f(g(x)) = 
;
в) f(g(x)) = |x|; г) f(g(x)) = x.
5) На каком из рисунков изображен график четной функции?
6. Укажите четную функцию.
а) y = sin (2x+1); б) y = sin (x2+1);
в) y = cos (x2+1); г) y = x+cos x.
7. Укажите нечетную функцию.
а) f(x) = x3 +1; б) f(x) = 2x – 2-x;
в) f(x) = 2x + 2-x; г) f(x) = 
8. Какое высказывание ложно?
а) Сумма двух четных на R функций есть функция четная.
б) Разность двух четных на R функций есть функция четная.
в) Произведение двух четных на R функций есть функция четная.
г) Всякая функция есть функция четная, либо нечетная.
9. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) (-¥; +¥); б) (0;+¥); в) множество всех чисел, кроме чисел вида pk, где k = 0, ±1, ±2, …
10. Какая из функций обладает следующими свойствами:
существует такое t ¹ 0, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x+t) = f(x)?
а) y = ; б) y = x2; в) y = sin 
; г) y = x sin x.
11. Какая из функций не является периодической?
а) y = sin(x+1);
б) y = cos x + tg x;
в) y = x + sin x;
г) y = {x}.
12. Какая из функций имеет период 
?
а) y = tg x – ctg x; б) y = sin 2x;
в) y = cos 
; г) y = sin x + cos x.
Вариант II
1. Какое равенство задает отношение, при котором каждому значению x соответствует не более одного значения y?
а) y2 = x2; б) x2y2 = 1; в) = x; г) sin y = x.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое нельзя рассматривать как график функции?
3. Для каких функций f и g равенство f(g(x)) = x верно не на всей области определения функции f(g(x))?
а) f(x) = sin x, g(x) = arcsin x; б) f(x) = arcsin x, g(x) = sin x;
в) f(x) = ex, g(x) = ln x; г) f(x) = ln x, g(x) = ex.
Даны функции f(x) = 
и g(x) = x2. Какая запись не верна?
а) f(g(x)) = 
; б)f(g(x)) = 
;
в) f(g(x)) = 
; г) f(g(x)) = (
)2;
4. На каком из рисунков изображен график четной функции?
5. Укажите четную функцию.
а) y = x2 – x; б) y = 2x – 2-x;
в) 2x + 2-x; г) y = 
.
6. Укажите нечетную функцию.
а) f(x) = cos x + sin x; б) f(x) = sin x + tg x;
в) f(x) = cos x + sin x; г) f(x) = tg x×ctg x.
7. Какое высказывание ложно?
а) Сумма двух нечетных функций на R есть функция нечетная.
б) Разность двух нечетных функций на R есть функция нечетная.
в) Произведение двух нечетных функций на R есть функция нечетная.
г) Произведение трех нечетных функций на R есть функция нечетная.
8. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) R – множество действительных чисел;
б) (-2; +¥); в) R \ {2pk, k Î Z0}.
9. Какая из функций обладает следующим свойством:
существует такое t ¹ 0, что при любом x из области определения верно равенство f (x+t) = f(x)?
а) y = x3; б) y = 
; в) y = x cos x; г) y = sin (
).
10. Какая из функций не является периодической?
а) y = sin x + ctg x; б) y = cos (2x+1);
в) y = sin ()2; г) y = sin x×tg x.
11. У какой функции наименьший положительный период больше 2p?
а) y = sin x + 
sin 2x + 
sin 3x;
б) y = 3 tg 
;
в) y = tg x + ctg 
;
г) y = sin2 x.
Вариант III
1. Какое равенство задает отношение, при котором некоторым значениям x соответствует более одного значения y?
а) y = arctg x; б) y = tg x; в) tg y = x; г) arctg y = x.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое можно рассматривать как график функции?
3. Для каких функций f и g равенство f(g(x)) = x верно не на всей области опреднления функции f(g(x))?
4.
а) f(x) = 
, g(x) = ; б) f(x) = 2x, g(x) = 0,5x;
в) f(x) = arccos x, g(x) = cos x; г) f(x) = cos x, g(x) = arccos x.
5. Для каких функций f и g имеет место равенство f(g(x)) = g(f(x))?
6.
а) f(x) = , g(x) = x0; б) f(x) = , g(x) = x4;
в) f(x) = , g(x) = x2; г) f(x) = , g(x) = x3.
7. На каком из рисунков изображен график четной функции?
8. Укажите четную функцию.
9.
а) y = sin x + tg x; б) y = sin x×tg x;
в) y = cos x×ctg x; г) y = tg x + ctg x.
10. Укажите, какая из приведенных функций нечетная?
11.
а) f(x) = 
; б) f(x) = lg 
;
в) f(x) = 10x + 10-x; г) f(x) = x5 – 1.
12. Пусть f – четная функция на R, а g – нечетная функция на R. Какое утверждение истинно?
а) f + g – функция четная; б) f – g – фуункция нечетная;
в) f×g – функция нечетная; г) 
– функция четная.
13. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) Q – множество рациональных чисел;
б) (-¥; 0);
в) множество интервалов вида (2pk, p(2k+1)), где k = 0, ±1; ±2…
14. Какая из периодических функций не имеет наименьшего положительного периода?
а) y = sin x; б) y = {x}; в) y = 5;
г) y = tg (80x + 3).
15. Какая из функций не является периодической?
а) y = sin 
; б) y = tg x + sin 2x;
в) y = 
; г) y = cos 4x.
16. Какие из следующих утверждений истинны?
а) Если число T – период функции f, то число 2T также период этой функции.
б) Если числа Т1 и Т2 – периоды функции f, то число (Т1+Т2) также период этой функции.
в) Если 2T – период функции f, то число T – также период этой функции.
г) Если T – период функции f, то число -T – также период этой функции.
Вариант IV
1. Какое равенство задает отношение, которое не является функцией?
а) ln y = x; б) arcsin y = x; в) sin y = sin x; г) ey = arcsin x.
2. На каком из рисунков изображено множество точек координатной плоскости, которое можно рассматривать как график функции?
3. Для каких функций f и g равенство f(g(x)) = x верно не на всей области определения функции f(g(x))?
а) f(x) = tg x, g(x) = arctg x; б) f(x) = arctg x, g(x) = tg x;
в) f(x) = 3x + 2, g(x) = 
x - 
; г) f(x) = - x, g(x) = - x.
4. Для каких функций f и g имеет место равенство f(g(x)) = g(f(x))?
а) f(x) = , g(x) = 
; б) f(x) = 10x, g(x) = lg x;
в) f(x) = x2, g(x) = x3; г) f(x) = x4, g(x) = 
5. На каком из рисунков изображен график четной функции?
6. Укажите четную функцию.
7.
а) y = sin (
- x); б) y = 1 – sin x;
в) y = cos x + x3; в) y = (x + 4)2
8. Какая из приведенных функций нечетная?
а) f(x) = x sin x; б) f(x) = x + sin x;
в) f(x) = ctg2 x; г) f(x) = cos (
- x) + 2.
9. На какой вопрос следует дать отрицательный ответ?
а) Может ли четная функция быть периодической?
б) Может ли периодическая функция иметь лишь один нуль?
в) Верно ли, что произведение двух функций различной четности есть функция нечетная?
10. Какие из данных множеств могут быть областями определения периодических функций?
а) N – множество натуральных чисел;
б) [-p; p];
в) множество всех чисел, кроме числа вида (2k + 1),
где k = 0; ±1; ±2, …
11. Какая из функций обладает следующим свойством: существует такое t ¹ 0, что при любом x из области определения верно равенство
f(x) = f(x - t)?
а) y = 2 cos |x|; б) y = 3 + sin (2 + );
в) y = 
; в) y = 2x×cos x.
12. Какая из функций не является периодической?
13.
а) y = |cos 2x|; б) y = sin x×cos 
;
в) y = 
sin (6x + 
); г) y = 4 – cos (
+ x).
14. У какой функции наименьший положительный период меньше ?
а) y = 
; б) y = 3 cos 
x;
в) y = 2 sin (6x + 
); г) y = -3 tg (
- 
).
Таблица кодов ответов
| Номер варианта | Вопросы | |||||||||||
| Ответы | ||||||||||||
| I | а | в | г | а | в | б | б | г | а, в | в | в | а |
| II | в | а | б | а | в | в | б | в | а, в | г | в | б |
| III | в | б | в | г | б | б | б | в | а, в | в | б | а, б, г |
| IV | г | г | б | в | в | а | б | б | в | а | б | в |
Заключение
Понятие функции является центральным в математическом образовании. От того, насколько полно и всесторонне школьник усвоит это понятие, зависит его дальнейшая адаптация в математической деятельности.
В школьном курсе математики учащиеся знакомятся с определением функции и той базы понятий, на котором оно основано, на протяжении всего периода обучения. При этом все содержание обучения построено так, что конечным результатом в идеале должно быть сформировано с одной стороны ясное и четкое представление об этом понятии, а с другой стороны близкое к современному пониманию функции как некоторого отображения произвольных множеств.
В данной работе сделана попытка, опираясь на основные школьные учебники, собрать материал по данной теме, систематизировать его для того, чтобы выделить важные моменты при формировании понятия функции и препятствовать формальному усвоению понятий, сопутствующих определению функции. Большую роль в достижении этой цели играют разработанные тестовые задания, разбор типичных примеров, в которых учащиеся зачастую дают неправильные ответы.
Данная работа охватывает весь материал, связанный с понятием функции в школьном курсе и может быть использована при работе на уроках в обычных, профильных классах и на факультативных занятиях по математике.
Литература
1. Ананченко К.О., Воробьев Н.Т., Петровский Г.Н. Алгебра. Учебник для 9 класса общеобразовательных школ с углубленным изучением математики. Минск: «Народная асвета», 1995.
2. Ананченко К.О., Коваленко В.С., Воробьев Н.Т. и др. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 класса с углубленным изучением математики общеобразовательной школы с русским языком обучения. Минск: «Народная асвета», 2000.
3. Вирченко Н.А., Ляшко И.И., Швецов К.И., Графики функций. Справочник. Киев: «Наукова думка», 1979.
4. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом, теорем. Пособие для учителей. М.: Прсвещение, 1981.
5. Кузнецова Е.П., Муравьева Л.Б., Шнеперман Л.Б., Ящин Б.Ю. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа. 10 класс. Минск: «Народная асвета», 2000.
6. Майер Р.А. Из опыта изучения функций и пределов в старших классах. М.: Просвещение, 1981.
7. Майер Р.А. Задачи по формированию функциональных понятий.
8. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. Алгебра. Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 1997.
9. Никольская И.А., Тараканова З.П. Задания для программированного опроса по алгебре и началам анализа. М.: Высшая школа, 1981.
10. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Изд. отдел УНЦ ДО МГУ, 1995.
11. Саранцев Г.И. Формирование математических понятий в средней школе // Матем. В школе. 1998. № 6. С.27.
12. Семенович А.Ф. Об определении понятия «отображение» // Матем. В школе. 2000. № 5. С.35.
13. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск: «Вышейшая школа», 1986.
14. Фройденталь Г.Ф. Математика как педагогическая задача. В двух частях. М.: Прсвещение, 1983.