Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Высота треугольника

Высота треугольника

Определение 1. Высотой треугольника называют перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону треугольника. Основанием высоты называют основание этого перпендикуляра (рис.1).

Рис.1

На рисунке 1 изображена высота BD, проведённая из вершины B треугольника ABC. Точка D – основание высоты.

Для высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла, справедливо следующее утверждение.

Утверждение. Длина высоты прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, являетсясредним геометрическим между длинами отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу (рис.2).

Рис.2

Доказательство. Углы треугольников BCD и ACD (рис.2) удовлетворяют соотношениям

В силу признака подобия прямоугольных треугольников треугольники BCD и ACD подобны. Следовательно,

Таким образом, длина отрезка CD является средним геометрическим между длинами отрезков BD и AD, что и требовалось доказать.

Высоты можно провести из каждой вершины треугольника, однако у треугольников различных типов высоты располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение высот у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Остроугольный треугольник		Все высоты остроугольного треугольника лежат внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Высоты прямоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, совпадают с катетами треугольника. Высота, проведённая из вершины прямого угла, лежит внутри треугольника
Тупоугольный треугольник		Высоты тупоугольного треугольника, проведённые из вершин острых углов, лежат вне треугольника. Высота, проведённая из вершины тупого угла, лежит внутри треугольника

Ортоцентр треугольника

Теорема 1. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и проведём через каждую из его вершин прямую, параллельную противолежащей стороне (рис.3).

Рис.3

Обозначим точки пересечения этих прямых символами A ₁, B ₁ и C ₁, как показано на рисунке 3.

В силу параллельности прямых AC и C ₁ A ₁, а также BC и C ₁ B ₁ четырёхугольники AC ₁ BC и ABA ₁ C – параллелограммы, откуда вытекают равенства

C ₁ B = AC = BA ₁.

Следовательно, точка B является серединой стороны C ₁ A ₁.

В силу параллельности прямых BC и C ₁ B ₁, а также AB и B ₁ A ₁ четырёхугольники AC ₁ BC и ABCB ₁ – параллелограммы, откуда вытекают равенства

C ₁ A = BC = A ₁ B ₁.

Следовательно, точка A является серединой стороны C ₁ B ₁.

В силу параллельности прямых AB и B ₁ A ₁, а также AC и C ₁ A ₁ четырёхугольники ABA ₁ C и ABCB ₁ – параллелограммы, откуда вытекают равенства

A ₁ C = AB = B ₁ C.

Следовательно, точка C является серединой стороны B ₁ A ₁.

Таким образом, высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами треугольника A ₁ B ₁ C ₁ (рис. 4),

Рис.4

и в силу теоремы о серединных перпендикулярах пересекаются в одной точке.

Теорема 1 доказана.

Определение 2. Точку пересечения высот треугольника (или их продолжений) называют ортоцентром треугольника.

У треугольников различных типов ортоцентры располагаются по-разному, как показано в следующей таблице.

Расположение ортоцентров у треугольников различных типов

Фигура	Рисунок	Описание
Остроугольный треугольник		Ортоцентр остроугольного треугольника лежит внутри треугольника.
Прямоугольный треугольник		Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла
Тупоугольный треугольник		Ортоцентр тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. В ортоцентре тупоугольного треугольника пересекаются не высоты, а продолжения высот треугольника.