Оценка случайных погрешностей (основные положения)

Оценка случайных погрешностей результатов измерений

Физической величины

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: научиться правильно, представлять результаты измерений.

Содержание задания.

1. Изучение основных теоретических положений оценки случайных погрешностей результатов измерений. В приложение 2 приведены основные теоретические положения, необходимые для выполнения задания 1.

Индивидуального задания 1 находится в приложение 1 и выбирается в соответствии c номером в списке ведомости.

 

2. После освоения основных положений, изложенных в приложении 2, следует приступить к выполнению индивидуального задания 1.

Оценка случайных погрешностей результатов измерений заданной измеряемой величины.

Расчет производится в двух вариантах: первый – для максимального значения числа измерений n=15 (16) и второй – для числа измерений n = 10.

В конце расчета производится сравнение результатов измерений в вариантах, которое показывает как изменяется доверительный интервал, соответствующей одной и той же заданной доверительной вероятности.

Пример расчета (оценки) случайных погрешностей результатов
измерений приведен в приложении 3.

 

 

Приложение 1

 

 

 

Приложение 2

Оценка случайных погрешностей (основные положения)

Адекватным математическим аппаратом описания случайных погрешностей является теория вероятностей. Согласно последней случайные величины, к которым относятся и результаты измерений, наиболее полно характеризуются своим законом распределения (или плотностью распределения) вероятностей. При оценке результатов измерений чаще всего приходится принимать нормальную и равномерную плотность распределения. Если выполняются предположения о том, что погрешности измерений могут принимать непрерывный ряд значений, при большом числе измерений частота появления погрешностей, равных по абсолютной величине, но различного знака, одинакова и малые погрешности встречаются чаще, чем большие, то тогда для описания случайных погрешностей следует применять нормальный закон распределения вероятностей (закон Гаусса), для которого справедлива следующая формула:

где у(Δ) - плотность вероятностей случайной погрешности Δ;

σ- среднее квадратическое значение случайной погрешности.

Кривые, соответствующие приведенному выше выражению для различных значений σ, приведены на рисунке, изображенном ниже.

 

Видно, что при малых значениях σ вероятней получить малую погрешность измерений, нежели при больших.

Согласно теории вероятностей при достаточно большом числе измерений, имеющих независимые случайные погрешности, оценка а производится по следующей формуле:

 

где n - число измерений.

x_i - результаты отдельных измерений;

x_cp - среднее арифметическое значение ряда измерений, принимаемое за истинное значение измеряемой величины:

x_cp = å x_i / n,

 

Далее теорией вероятностей для оценки результатов ряда измерений вводятся важные понятия доверительной вероятности и доверительного интервала. Очевидно, среднее арифметическое значение x_cp, полученное в результате обработки некоторого ряда измерений, является оценкой истинного значения х _ист и, конечно, как правило, не совпадает с ним, а отличается на значение погрешности. Пусть Р_л - есть вероятность того, что x_cp отличается от х _ист не более чем на Δ, тогда эта вероятность, называемая доверительней, может быть записана в следующем виде:

Р(x_cp - Δ < х _ист < x_cp + Δ) = Р_л

Доверительным же интервалом называется интервал значений измеряемой величины от значений (x_cp – Δ) до (x_cp + Δ)

Приведенное выше неравенство означает, что с вероятностью Р_д доверительный интервал от (x_cp – Δ) до (x_cp + Δ) заключает в себе истинное значение х _ист измеряемой величины. Таким образом, чтобы характеризовать случайную погрешность достаточно полно, надо располагать числами доверительной вероятностью и соответствующим ей доверительным интервалом. Если закон распределения вероятностей погрешностей известен, то по заданной доверительной вероятности можно определить доверительный интервал. В частности, при достаточно большом числе измерений часто бывает оправданным использование нормального закона (см. выше). При небольшом же числе измерений (n <20), результаты которых принадлежат нормальному распределению, следует пользоваться распределением Стьюдента. Это распределение имеет плотность вероятностей, практически совпадающую с нормальной при больших n, но значительно отличающуюся от нормальной при малых n.

В ниже расположенной таблице приведены так называемые квантили распределения Стьюдента |t(n) |_Рд, для числа измерений n =2-30 и доверительных вероятностей Р_д=0,8-0,99. Квантиль распределения Стьюдента, это коэффициент распределения, показывающий зависимость между числом измерений - п, и доверительной вероятностью случайной погрешности - Р_д. (Более полную таблицу можно найти в соответствующих литературных источниках по теории вероятностей).

Таблица квантилей распределения Стьюдента (выборочная) Число Доверительная вероятность, Рд измерений (п) 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99   1,42 1,90 2,36 3,00 3,50 - - - - - -   1,38 1,84 2,26 2,82 3,25 - - - - - -   1,34 1,76 2,14 2,62 2,98   1,34 1,75 2,13 2,60 2,95   1,34 1,75 2,12 2,58 2,92 - - - - - -   1,333 1,73 2,09 2,54 2,87

 

 

Приложение 3

Методика расчета (оценки) случайных погрешностей результатов
измерений(с примером)

Произведено (задано) - n (до 20) отсчетов измеряемой величины. Требуется произвести обработку результатов измерений, предполагая их нормальное распределение. Для этого доверительная вероятность - Р_д задана. Систематической погрешностью можно пренебречь.

Расчет произвести для двух значений n: максимального, указанного в задании и n =10.

Сравнить результаты обеих измерений при изменении числа измерений при той же доверительной вероятности.

Пример.

А. Задано 17 отсчетов значений расхода воды [м³/ч]. Требуется произвести обработку результатов измерений, предполагая их нормальное распределение. Для этого принять доверительную вероятность Р_д=0,95. Случайной погрешностью пренебречь.

Таблица значений измерения расхода - м³/ч (i- номер изменения; x_i -результат измерения):

i	xi	i	xi	i	xi
	168,1		170,5		168,2
	170,1		168,5		169,0
	169,3		169,7		168,7
	167,8		169,0		168,0
	168,6		169,0		169,2
	167,		168,5

 

 

Обработку результатов измерений, в соответствии с материалом, изложенным в приложении №2, будем вести в следующей последовательности

1.Определим среднее арифметическое значение результатов отдельных измерений по формуле

x_cp = (x₁+х₂ +... + x_n)/ n = å x_i / n

x_cp =(168,1 + 170,1 + 169,3 + 167,8 + 168,6 + 167,4 + 170,5 + 168,5 + 169,7+169,0+169,0+168,5+168,2+169,0+168,7+168,0+169,2)/17=168,8 м³/ч.

Значение x_cp будем считать оценкой истинного значения измеряемого расхода F, т.е. F ≈ x_cp =168,8 м³/ч.

2.Вычислим отклонения результатов отдельных измерений от среднего арифметического значения по формуле x_i-x_cp и сводим значения в таблицу

 

Полученные результаты сведем в таблицу. i xi-xcp i xi-xcp 0i xi-xcp j   -0,7   1,7   -0,6   1,3   -0,3   0,2   0,5   0,9   -0,1   -1,0   0,2   -0,8   -0,2   0,2   0,4   -1,4   -0,3

3. Вычислим оценку S значения средней квадратической погрешности ряда измерений по формуле:

 

Получаем:

S= =0,81 м³/ч

4.Так как среднее арифметическое значение тоже является случайной величиной, определим среднеквадратическое отклонение среднего арифметического значения по формуле:

S_ср = S/ .

Получим:

S_ср = 0,81/ =0,2 м³/ч.

5.Для вычисления доверительного интервала, соответствующего доверительной вероятности Р_д=0,95 и числу измерений n=17, воспользуемся таблицей квантилей распределения Стьюдента, приведенных в приложении №1.

Находим значение квантиля |t(n=17) |_Рд =2,12, с помощью которого могут быть найдены границы доверительного интервала случайной погрешности.

6. Нижняя граница доверительного интервала будет равна:

x_H = x_cp - |t(n=17)|_Рд ·S_ср

а верхняя:

x_b = x_cp + |t(n=17)|_Рд ·S_ср

Вычислим их:

x_H = 168,8-2,12·0,2 =168,4 м³/ч

x_в =168,8+2,12-0,2 = 169,2 м³/ч.

 

7.Нижняя и верхняя границы погрешности измерения будут соответственно равны:

Δ_н = - |t(n=17)|_Рд·S_ср =-0,4 м³/ч

Δ_в = + |t(n=17)|_Рд·S_ср =+0,4 м³/ч

8.Результат измерения может быть записан в виде

F= 168,8 м³/ч; Δ=±0,4 м³/ч; Р_д=0,95.

Б. Второй вариант расчета для n =10, производится для результатов измерений, приведенных в таблице значений измерения расхода, под номерами измерений i от 1 до 10.

Обработка результатов производится аналогично, приведенной в варианте А для n=17, т.е. в той же последовательности

1. x_cp = 168,9 м³/ч, т.е. F ≈ x_cp =168,9 м³/ч;

2. S = 10,0 м³/ч;

3. S_ср = 3,2 м³/ч;

4. |t(n=10)|_Рд =2,26;

5. х_н= 168,2 м³/ч;

x_b =169,6 м³/ч;

6. vΔ_н =-0,7 м³/ч;

Δ_в =+0,7 м³/ч;

7. F=168,9 м³/ч; Δ =±0,7 м ³/ч; Р_д=0,95.

Вывод.

Сравнение результатов измерений в примерах А и Б, показывает, что при уменьшении числа измерений с 17 до 10 происходит увеличение доверительного интервала, соответствующего одной и той же доверительной вероятности Р_д=0,95.