ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Задачи управления изначально ставятся, как правило, в терминах той области знаний, из которой они происходят (инженерия, физика, медицина, экономика и пр.). Для того чтобы иметь возможность исследовать подобные задачи математическими средствами, необходимо перевести их на математический язык, т.е. формализовать. Системы управления, которые рассматриваются в данной книге, относятся к классу динамических конечномерных непрерывных систем [4, 51].

Сформулируем ряд определений, касающихся этого класса систем.

Определение 1. Динамическая система – понятие, состоящее из множеств , переменных , , и функции С, где

− область определения системы,

− пространство состояний системы,

− множество значений выходов системы,

− пространство входов системы,

– состояние системы,

– выход системы,

– управление системой,

С – непрерывная функция.

Здесь и далее: − независимая переменная, функция будет обозначаться символом . Пусть и ‒ элементы из , причем . Символ будем использовать для обозначения сегмента (отрезка) из на множестве . Если ‒ элемент , ‒ элемент и – элемент , то есть определенный элемент, который будем обозначать через т.е.

, (В.1)

называть выходом системы и образуют пару «вход - выход» системы.

Пусть имеется непрерывная относительно своих аргументов функция такая, что

. (В.2)

Функцию называют переходной функцией.

Уравнения (В.1) и (В.2) называют уравнениями выхода и состояния системы соответственно.

Определение 2. Динамическую систему называют конечномерной, если

1. пространство состояний системы является евклидовым пространством , т.е. ;

2. множество значений выхода есть евклидово пространство , , т.е. .

Отсюда следует, что непрерывная функция преобразует в евклидово пространство . Число , являющееся размерностью пространства , называют порядком системы, а число – размерностью выхода системы.

Определение 3. Говорят, что система непрерывна (по времени), если множество представляет собой открытый интервал , который может быть равным всему . Интервал называют областью существования или интервалом определения системы.

Определение 4. Динамическую систему называют дифференциальной, если уравнения состояния и выхода системы имеют вид

,

где есть решение системы дифференциальных уравнений

(В.3)

с начальными условиями и

.

Здесь

Систему управления называют скалярной или SISO-сиcтемой (Single Input Single Output), если . Если или , то такую систему называют векторной или MIMO (Multiple Input Multiple Output).

Будем полагать, что функция удовлетворяет условиям Липшица, т.е. существует постоянная такая, что выполняются следующие неравенства:

Здесь и ̶ производные функций и по и соответственно или и .

При этих условиях справедливы теоремы о локальном существовании, единственности и непрерывной зависимости на конечном интервале решения уравнения (В.3) от начальных условий и .

Функция называется непрерывной на интервале , если при любом положительном и любом существует такое положительное число , что как только .

Различие непрерывной функции от равномерно непрерывной функции состоит в том, что положительное число , которое можно подобрать для заданного , в случае непрерывной функции зависит не только от , но и от . Равномерная непрерывность предполагает, что по заданному можно подобрать такое , что неравенство будет выполняться, как только при любом .

Лемма Барбалата. Если дифференцируемая функция имеет конечный предел при и ее производная равномерно непрерывна, то при .

Доказательство. Докажем от противного. Допустим, что производная не стремится к нулю при . Но тогда существует положительное число такое, что для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует , при котором справедливо неравенство . Следовательно, можно построить последовательность , стремящуюся к бесконечности при и такую, что выполняется неравенство

Так как производная равномерно непрерывна, то существует такое положительное число , что для любого выполняется неравенство

Так как производная равномерно непрерывна, то существует такое положительное число , что для любого выполняется неравенство

,

как только . В частности, если принять , то из последнего неравенства получаем

при .

Из последних двух неравенств следует, что справедливо неравенство

при

Проинтегрировав обе части последнего неравенства на интервале , получим

.

Равенство слева вытекает из того, что производная на интервале интегрирования не меняет знака, так как на этом интервале она непрерывна и удовлетворяет ограничению .

Из последнего неравенства получаем неравенство

,

которое выполняется при любом , как бы велико оно ни было. А это противоречит тому, что функция стремится к конечному пределу при . Лемма доказана.

■

Следствие. Если дважды дифференцируемая на интервале функция имеет конечный предел при и вторая производная на этом интервале ограничена, то производная стремится к нулю при .

Определение 5. Две динамические системы и называют эквивалентными на интервале , если существует невырожденная матрица размерностью из постоянных элементов, такая, что

где и ̶ переменные состояний систем и соответственно.

Понятие эквивалентности означает, что если рассматривать динамическую систему , описываемую уравнениями вида

,

то траектории и выход системы будут теми же самыми, что и для системы .

Отметим, что матрица в общем случае может зависеть от . Однако при каждом эта матрица должна быть обратима.

Пусть ̶ группа преобразований. Напомним, что непустое множество называют группой, если в определена операция, ставящая в соответствие каждой паре элементов из некоторый элемент из , так что выполнены следующие аксиомы:

1. для всех трех элементов верно равенство ;

2. существует такой элемент , что для любого ;

3. всякий элемент имеет обратный , для которого .

Пусть заданы две системы дифференциальных уравнений:

С группой свяжем группу нестационарных преобразований

Нетрудно видеть, что отображение удовлетворяет дифференциальному уравнению

В теории управления важную роль играют некоторые структурные свойства систем. В частности, такие, как наблюдаемость, управляемость, устойчивость [21, 26, 32, 39, 81].

Пусть задана динамическая система (В.3)

, (B.4)

.

Определение 6. Наблюдаемость. Говорят, что состояние наблюдаемо, если для заданного управления существует время такое, что знания и выхода достаточно для определения . Отметим, что время может зависеть от . Если каждое состояние наблюдаемо в момент , то говорят, что система наблюдаема при . Если же каждое состояние наблюдаемо в любой момент времени , то говорят, что система полностью наблюдаема.

Определение 7. Управляемость. Если состояние достижимо из , т.е. существует такое , где , которое переводит систему из состояния в , то говорят, что состояние управляемо в момент . Если каждое состояние управляемо в момент , то система полностью управляема.

Определение 8. Достижимость. Состояние называют достижимым или доступным из исходного состояния в момент по отношению к множеству , если существует элемент такой, что

(В.5)

для конечного .

Если через обозначить множество из , которое состоит из всех значений , достижимых из исходного состояния при по отношению к множеству в момент , то называют областью достижимости состояний в момент (из при по отношению к ).

Следует отметить, что, во-первых, из фактов наличия свойств управляемости, наблюдаемости и достижимости не вытекают какие-нибудь рекомендации по управлению состоянием или по наблюдению за состоянием системы. Во-вторых, наличие этих свойств является необходимым и достаточным для существования принципиальной возможности привести систему в любое состояние и наблюдать ее в любом состоянии. В-третьих, в общем случае наличие у системы свойств из определений

6, 7, 8, может оказаться, вообще никак не связано с решением задач управления и наблюдения. Другими словами, выполнение указанных свойств у конкретной системы определяет лишь ее «потенциальные возможности».

При рассмотрении различных практических задач управления существенную роль играет теория устойчивости. Сам термин «устойчивость» имеет много значений. Приведем определение понятия устойчивости по А.М. Ляпунову [46, 47].

Пусть непрерывная динамическая система описывается уравнением

с начальным состоянием (В.6)

Обозначим через шар радиуса с центром в начале координат в евклидовом пространстве с нормой (здесь – транспонированный вектор ). Область определения (существования), как и ранее, . Здесь есть или заданное число, .

Будем считать, что функция непрерывна и является липшицевой по аргументу , т.е.

В теории устойчивости А.М. Ляпунова (1857 - 1918) исследуется на устойчивость одно решение. Пусть - решение задачи (В.6), продолжимо до бесконечности, т.е. существует на интервале причем при .

Определение 9.1. Решение задачи (В.6) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое, что все решения задачи (В.6) бесконечно продолжимы вправо, как только , для таких решений справедливо неравенство

т.е. -трубка решений содержит все решения задачи (В.6), которые в начальный момент отстояли от не более чем на .

Решения (В.6) и называют невозмущенным (опорной траекторией) и возмущенным соответственно. Следует отметить, что рассматривается только одно устойчивое решение, а именно , а не все решения уравнения (В.6).

Определение 9.2. Решение называется равномерно устойчивым по , если для любого найдется такое , не зависящее от , что , как только .

Определение 9.3. Тривиальное решение уравнения (В.6) называется асимптотически устойчивым, если:

1. оно устойчиво по Ляпунову;

2. для всякого существует такое, что для при .

Множество всех тех начальных условий , для которых , называют областью притяжения тривиального решения в начальный момент . Если , то говорят, что решение асимптотически устойчиво в целом (глобально асимптотически устойчиво).

Если выполняется только условие 2 из определения 9.3, то говорят, что тривиальное решение является притягивающим (аттрактором). Из притяжения, вообще говоря, не следует устойчивость. Кроме случая скалярного обыкновенного дифференциального уравнения. Поэтому примеры, когда имеется притяжение, но нет устойчивости, можно построить только при или для уравнений более общих, чем обыкновенные дифференциальные.

Определение 9.4. Тривиальное решение системы (В.6) называется равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчиво и для любого числа найдутся числа и такие, что при , а .

В общем случае требования равномерной асимптотической устойчивости сильнее требований асимптотической устойчивости.

Определение 9.5. Тривиальное решение системы (В.6) называется экспоненциально устойчивым, если всякое решение этого уравнения удовлетворяет оценке

Отметим, что для линейных дифференциальных уравнений экспоненциальная устойчивость эквивалентна равномерной асимптотической устойчивости.

Рассмотрим, наряду с системой (В.6), систему с возмущением

(В.7)

Определение 9.6. Тривиальное решение системы (В.7) называется устойчивым при постоянно действующих возмущениях, если для любого и существует такое , что при и все решения системы (В.7) удовлетворяют условию .

Определение 9.7. Тривиальное решение системы

, (В.8)

где − непрерывная вектор функция такая, что , назовем устойчивым по Красовскому, если существуют положительные числа и такие, что для любого решения с начальными данными выполняется оценка

,

− евклидова норма вектора , .

Отметим, что число не зависит от выбора вектора из шара . В случае, если не зависит от выбора , говорят, что система (В.8) равномерно устойчива по Красовскому.

Кроме приведенных определений устойчивости используются и такие, как устойчивость по части переменных, на ограниченном интервале времени, абсолютная устойчивость, орбитальная устойчивость и другие.

Универсальным методом исследования устойчивости различных классов систем является второй метод Ляпунова [58, 59].

Пусть (функция Ляпунова) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам и удовлетворяет условию Тогда производная функции Ляпунова в силу системы (В.8) равна

(В.9)

Приведем формулировки основных теорем.