Операции второго порядка

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Пусть - непрерывная функция и - гладкая поверхность , где задана в некоторой области плоскости . Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что :

где - площадь -го элемента поверхности , точка принадлежит этому элементу, - диаметр этого элемента, определена в каждой точке поверхности .

Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности , по которой производится интегрирование.

Поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле

Рассмотрим двустороннюю поверхность и выберем

на ней определенную сторону . Функция определена в точках данной поверхности. Предел интегральной суммы , где - проекция на плоскость -го элемента поверхности , имеющего площадь , при условии называется поверхностным интегралом II рода, распространенным на выбранную сторону поверхности , и обозначается символом

Если , , - непрерывные функции и - сторона гладкой поверхности , характеризуемая направлением нормали , то соответствующий поверхностный интеграл II рода выражается так:

При переходе на другую сторону поверхности этот интеграл меняет знак на противоположный.

Если поверхность задана уравнением в неявном виде , то направляющие косинусы нормали этой поверхности определяются по формулам

, ,

где знак перед радикалом должен быть согласован со стороной поверхности.

ЭЛЕМЕНТЫТЕОРИИ ПОЛЯ

Скалярное поле

Определение. Скалярное поле определяется скалярной функцией точки , где - точка пространства, - ее радиус вектор.

Поверхности уровня - const.

Линии уровня плоского скалярного поля - const.

Оператор Гамильтона (линейный дифференциальный

оператор (набла)): .

Градиент. Градиент скалярного поля – вектор , .

Свойства градиента

, , , , , ,

Градиент скалярного поля в цилиндрических координатах .

Градиент скалярного поля в сферических координатах

Производная скалярного поля по направлению

, , .

. , если имеет направление .

Векторное поле

Определение. Векторное поле определяется векторной функцией точки где - точка пространства; - ее радиус-вектор.

Векторная линия (силовая линия, линия тока) поля – решение системы .

Дивергенция (расходимость) векторного поля

Свойства дивергенции

, , ,

, ,

Дивергенция векторного поля в цилиндрических координатах .

Дивергенция векторного поля в сферических координатах

Ротор (вихрь) векторного поля

или в символическом виде

Свойства ротора

, , , , .

Поток векторного поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали ,

где - величина проекции вектора на направление вектора .

Если поверхность задана уравнением , поток через верхнюю сторону поверхности можно вычислить по формуле

Если уравнение поверхности есть , , то

Линейный интеграл от вектора по линии

где - проекция вектора на касательную к . Линейный интеграл выражает работу векторного поля вдоль линии .

Циркуляция векторного поля вдоль контура - линейный интеграл вдоль замкнутой линии

Формула Стокса

или в векторной форме ,

где - единичный вектор нормали к поверхности , направление которого таково, что при обходе контура поверхность остается слева.

Формула Остроградского

или в векторной форме ,

где - внешняя сторона поверхности, ограничивающей тело ; - единичный вектор внешней нормали к ней.

Векторное поле - потенциальное, если . Функция называется потенциалом векторного поля . Поле потенциально в поверхностно односвязной области тогда и только тогда, когда или , . Потенциал в этом случае можно найти по формуле