Кинематика зубчатых механизмов.

 

 

а)

 

 

б)

Рисунок 7

 

По основному закону зацепления

 

 

 

При пересопряжении зубьев следующий зуб второго колеса должен попасть в следующую впадину первого, т.е. шаги на начальных окружностях находящихся в зацеплении колес должны быть одинаковыми:

Таким образом, для одной пары колес передаточное отношение прямо пропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению чисел зубьев колес, составляющих пару:

Знак передаточного отношения показывает направление вращения колеса на выходе по отношению к направлению вращения на входе:

 

(+) – направления вращения на входе и на выходе совпадают. Для пары колес направление вращения совпадает при внутреннем зацеплении (рисунок 5б);

(–) – колеса вращаются в противоположные стороны. Это происходит при внешнем зацеплении (рисунок 5а).

 

На рисунке 5 дана фронтальная проекция передач, а также их условное изображение на кинематических схемах при виде сбоку (или в разрезе).

 

2) Многоступенчатая передача

 

Для увеличения кинематического эффекта несколько зубчатых пар могут последовательно соединяться в единый механизм. Такой механизм называется многоступенчатым зубчатым механизмом или многоступенчатой передачей. Схема одного из таких механизмов приведена на рисунке 7.

 

Рисунок 7

 

Запишем передаточные отношения для каждой пары колес данного механизма:

 

 

Из схемы видно, что колеса 2 и 3 находятся на одном валу и вращаются с одной угловой скоростью (ω₂ = ω ₃), аналогично ω₄ = ω₅. Поэтому в приведенном выше уравнении эти члены сократились.

Таким образом, общее передаточное отношение многоступенчатого механизма равно произведению частных передаточных отношений ступеней, из которых состоит данный механизм:

 

В этой формуле показатель степени “m” – число передач внешнего зацепления (если число передач внешнего зацепления четное, то знак "+", т.е. колеса на входе и на выходе вращаются в одну сторону; если нечетное, то знак "–". Количество передач внутреннего зацепления не учитывается, т.к. внутреннее зацепление не изменяет направление вращения).

 

В приведенном примере m=2 (пары Z_1* Z₂ и Z_3* Z₄; пара Z_5* Z₆ – пара внутреннего зацепления) и, таким образом, колеса "1" и "6" вращаются в одну сторону.

 

 

3) Планетарные и дифференциальные механизмы

 

В практике применяются зубчатые механизмы, имеющие колеса с подвижными геометрическими осями (сателлиты). Такие механизмы называются планетарными (если имеют одну степень свободы) или дифференциальными (если степень свободы равна двум).

 

Планетарные и дифференциальные механизмы позволяют получить более высокий кинематический эффект, более высокий кпд, более удобную компоновку. Дифференциальные механизмы позволяют также раскладывать одно движение на два или складывать два движения в одно.

 

 

а) б)

Рисунок 8

 

На рисунке 7 приведен пример дифференциального (рисунок 7 а) и планетарного механизмов (рисунок 7 б). В этих механизмах колесо "2" имеет подвижную геометрическую ось – это и есть сателлит.

 

Неподвижная геометрическая ось, вокруг которой движется ось сателлита, называется центральной осью. Колеса, геометрические оси которых совпадают с центральной, также называются центральными (на рисунке 7 колеса "1" и "3" – иногда такие колеса называют солнечными). Звено, соединяющее ось сателлитов с центральной осью, называется водилом

(водило обычно обозначается "H").

 

При кинематическом исследовании дифференциальных и планетарных механизмов применяется метод обращения движения (по-другому его называют методом остановки водила). Смысл этого метода заключается в том, что если всем звеньям системы добавить (с любым знаком) одну и ту же скорость, то характер относительного движения этих звеньев не изменится.

 

Рассмотрим решение с помощью этого метода на примере механизмов, изображенных на рисунке 7. Пусть звенья этого механизма имеют соответственно угловые скорости: ω₁, ω₂, ω₃, ω_H.

 

Добавим всем этим звеньям угловую скорость (– ω_H). Тогда они будут иметь следующие скорости: (ω₁– ω_H), (ω₂ – ω_H), (ω₃ – ω_H), (ω_H – ω_H) = 0. Водило стало неподвижным, значит и ось сателлита 2 также стала неподвижной, т.е. механизм превратился в обычный многоступенчатый механизм с неподвижными осями всех зубчатых колес.

 

Записываем уравнение передаточного отношения между центральными колесами этого многоступенчатого механизма (для того, чтобы отличить передаточное отношение механизма с остановленным водилом от первоначально заданного, в верхнем индексе ставят обозначение водила H. Для данного примера читается – передаточное отношение от первого к третьему при остановленном водиле):

 

 

Формулу такого типа, полученную на основе метода обращения движения, называют формулой Виллиса. В данном конкретном механизме (рисунок 7) имеется еще одна особенность – колесо 2 входит последовательно в два зацепления(с первым и третьим колесами), являясь ведомым для первого колеса и ведущим – для второго.

 

В результате в уравнении его число зубьев сократилось, т.е. его число зубьев не влияет на общее передаточное отношения механизма. Такие колеса часто называют «паразитными», хотя правильно их называть ведомо-ведущими.

 

Полученная формула является универсальной для обоих механизмов, изображенных на рисунке 7. Дифференциальный механизм, изображенный на рисунке 7а, имеет две степени свободы, а поэтому для определенности движения надо задать законы движения двум звеньям. При этом возможны следующие варианты:

1) заданы ω₁ и ω₃; из записанной формулы определяется ω_H (вариант, изображенный на рисунке 7 а);

2) заданы ω₁ и ω_H; из записанной формулы определяется ω₃;

3) заданы ω_H и ω₃; из записанной формулы определяется ω₁.

 

Так как звеньям можно задавать любые законы движения, то, как частный случай, одному из центральных колес зададим угловую скорость, равную нулю. Например, в рассматриваемом механизме зададим ω₃=0, другим словами, затормозим третье колесо. Таким приемом отнимается одна из двух степеней свободы, и механизм из дифференциального превращается в планетарный (рисунок 7 б).

 

Таким образом, планетарный механизм это частный случай дифференциального, когда одно из центральных колес неподвижно (заторможено).

 

Поэтому решаются эти механизмы совершенно одинаково, по одним и тем же уравнениям, только в планетарном механизме для неподвижного колеса в уравнение подставляется значение угловой скорости, равное нулю. Для изображенного на рисунке 7б планетарного механизма:

 

Здесь приведен конкретный пример решения, но на самом деле на этом примере надо усвоить метод решения, подход к решению такого рода задач, т.к. метод один, но для каждой схемы механизма будут получаться свои уравнения.