Поиск чисел
Найдите все трехзначные числа, которые в 11 раз больше суммы своих цифр.
Квадрат или нет?
Какое наименьшее количество множителей надо вычеркнуть из произведения 
так, чтобы произведение равнялось точному квадрату?
Делится всегда
Докажите, что число 
делится на 8 при любом натуральном х.
Уравнение
Решите уравнение в целых числах: 
.
Загадка
Бараш записал 11 последовательных натуральных чисел на 11 карточках, перевернул их и взял в руки одну из карточек с некоторым числом. Затем пришел Крош. Бараш предложил Крошу отгадать число, записанное на той карточке, которую держит в руках Бараш. При этом, Бараш дал Крошу подсказку: сумма оставшихся 10 чисел равна 2016. Сможет ли Крош отгадать загадку Бараша?
Простое число
Докажите, что если 
делится на 
, то - просто число. 
Два бесконечных множества
Крош и Бараш пришли к Пину и рассказали, что придумали одно бесконечное множество чисел, такое что если числа 
и 
в него попадают, то числа 
и 
в него не попадают. Стоит ли Пину верить им? Если стоит, то приведите пример такого множества. Если нет – докажите, что такого множества нет.
Делители
Сколько существуют таких натуральных чисел , количество делителей, которых равно некоторому простому числу, а само число в 5 раз больше, чем его количество делителей?
Путь Панды. Тема 2. Делимость. 2 октября
9-10, 11 классы
Рекомендации при работе с задачами:
Понять (представить себе) как такое (обстоятельства задачи) может быть?
Задания
1. Простые числа
Могут ли числа х, х+12, х+38, х+1004, х+2006, быть одновременно простыми? (Чшиев А.Г.)
Решение. Пять данных чисел имеют различные остатки при делении на 5. Значит, одно из них равно 5. Если х=5, то имеем еще четыре простых числа: 17, 43, 1009, 2011.
Ответ: да, например, при х = 5.
2. Оканчивается на…
На какую цифру оканчивается значение суммы 1+2017+2017^2+2017^3+2017^4+…+2017^2017? (Чшиев А.Г.)
Решение. Запишем вместо степеней семерки их остатки при делении на 10. Имеем: 1+7+9+3+1+7+9+3+…+1+7. Заметим, что 1+7+9+3=0. Поэтому, ответ 8.
Поиск чисел
Найдите все трехзначные числа, которые в 11 раз больше суммы своих цифр.
Решение. Пусть искомое число (abc)̅. Тогда имеем уравнение: 100a+10b+c=11a+11b+11c или 89a = b+10c < 99. Следовательно, a=1. Отсюда 10с+b=89, то есть c = 8, b=9.
Ответ: 198.
Квадрат или нет?
Какое наименьшее количество множителей надо вычеркнуть из произведения 1 
2 3 4 … 17 так, чтобы произведение равнялось точному квадрату?
Решение. Разложим на простые множители наше произведение 1 2 3 4 … 17= 
. Заметим, что число является точным квадратом, если входящие в него простые множители в чётных степенях. Значит, надо вычеркнуть числа 2, 5, 11, 13 и 17. Так как нас просили вычеркнуть как можно меньше чисел, то вместо 2 и 5 можно вычеркнуть 10. И того 4 числа. Ответ: 4.
Делится всегда
Докажите, что число 
делится на 8 при любом натуральном х. (Чшиев А.Г.)
Решение. Следует из сравнения: 
Уравнение
Решите уравнение в целых числах: xy(x+y)=12345.
Решение. Так как сумма и разность имеют разную четность, то слева стоит четное число. Поэтому решение в целых числах уравнение не имеет.
Загадка
Бараш записал 11 последовательных натуральных чисел на 11 карточках, перевернул их и взял в руки одну из карточек с некоторым числом. Затем пришел Крош. Бараш предложил Крошу отгадать число, записанное на той карточке, которую держит в руках Бараш. При этом, Бараш дал Крошу подсказку: сумма оставшихся 10 чисел равна 2016. Сможет ли Крош отгадать загадку Бараша? (Фольклор)
Решение. Пусть х – наименьшее натуральное число, записанное Барашем. Тогда имеем: х+х+1+х+2+…+х+10 – х – к = 2016, или 10х+55=2016 + к, или 10х=1961+к, где 0<k<10. Тогда к=9, х=197, и значит, Бараш держит в руках число х+к=197+9=206. Ответ: 206.
Простое число
Докажите, что если (x-1)!+1 делится на x, то x - просто число. (n!=1*2*3*4*…*n)
Решение. МОП. Пусть x - составное. Тогда его можно разложить на два множителя, каждое из которых строго меньше x. Но оба эти множителя содержатся в числе (x-1)!, так как там содержатся все числа меньшие x. Но тогда (x-1)! делится на x и число (x-1)!+1 делится на x не будет!!!
Два бесконечных множества
Крош и Бараш пришли к Пину и рассказали, что придумали одно бесконечное множество чисел, такое что если числа a и b в него попадают, то числа ab+1 и ab-1 в него не попадают. Стоит ли Пину верить им? (Фольклор)
Решение. Да, стоит. Например, Крош и Бараш могут говорить о множестве нечетных чисел.
Делители
Сколько существуют таких натуральных чисел х, количество делителей, которых равно некоторому простому числу, а само число х в 5 раз больше, чем его количество делителей?
Решение. Таких чисел нет. Обозначим через к – количество делителей числа х. Тогда x = p^{k-1}, и p^{k-1}=5k, значит, p=5, то есть 5^{k-2}=k – простое число!!!