Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера.

Кольцо многочленов от одной переменной.

Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера.

Пусть - коммутативное кольцо с единицей, K подкольцо этого кольца, содержащее единицу, и .

Обозначим через K [ x ] пересечение всех подколец кольца , содержащих элементы кольца K и элемент x. K [ x ] - кольцо относительно операции в кольце .

Определение. Кольцо K [ x ] называется простым расширением кольца K посредством присоединения элемента x.

Элемент называется алгебраическим элементом над K, если существуют не все равные нулю, что

.

Элемент , не являющийся алгебраическим над кольцом , называется трансцендентным элементом над кольцом K.

Кольцо K [ x ] называется простым алгебраическим расширением кольца K, если x – алгебраический элемент над K. Если же трансцендентный элемент над K, то кольцо K [ x ] называется простым трансцендентным расширением кольца K.

Пример. - кольцо рациональных чисел, - кольцо целых чисел. является алгебраическим над кольцом Z, т.к. . - простое алгебраическое расширение кольца Z состоит из рациональных чисел, представленных в виде конечной десятичной дроби.

Определение. Простое трансцендентное расширение K [ x ] коммутативного кольца K с единицей посредством присоединения к кольцу K трансцендентного над кольцом K элемента x называется кольцом многочленов

от переменной x.

Элементы кольца K [ x ] называются многочленами и обозначаются f (x), g(x),

h (x), ….

Теорема 1. , где K – коммутативное кольцо с единицей, можно представить в виде:

. (1)

Доказательство. Обозначим через - множество всех многочленов из кольца K [ x ], представимых в виде (1). Так как для , , , ,

то , . Следовательно, - подкольцо кольца K [ x ].

Так как - кольцо, содержащее все элементы кольца K и x, а K [ x ] – минимальное кольцо, содержащее все элементы кольца K и элемент x, то . Значит, .

Определение. Представление многочлена в виде (1) называется канонической (стандартной) формой многочлена f (x), если

1) ;

2) в (1) нет подобных слагаемых;

3) слагаемые в представлении (1) расположены по убывающим на 1 степеням переменной x.

Теорема 2. Представление любого многочлена в канонической форме единственно.

Пусть , . Если ,

то n называется степенью многочлена f (x). Будем считать, что степень нулевого

многочлена неопределена.

Свойства степени многочлена

Пусть . Если , , ,

, то

1. ст. ,

2. .

Если же область целостности, то

.

Деление многочлена на двучлен. Схема Горнера.

Пусть K [ x ] –кольцо многочленов над коммутативным кольцом K с единицей, , , . Элемент называется значением многочлена f (x) при x=x ₀. Выясним вопрос деления многочлена f (x) на x-x ₀, .

Теорема 3. Пусть . Любой многочлен можно представить в виде

(2)

и притом единственным образом.

Доказательство. Пусть , . Тогда , . Пусть теперь , , . Предположим, что и , что имеет место равенство (2). Из (2) следует, что , . С учетом выражения многочлена g (x) равенство (2) запишется:

или

(3)

Так как два многочлена равны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при соответствующих степенях переменной x равны, то

из (3) получим:

, , , …, , (4)

Равенствами (4) однозначно определяются многочлен , и элемент , для которых выполняется равенство (2). Из (2) f (x ₀)=c.

Теорема 4. Пусть , , . Элемент является корнем многочлена f (x) .

Вычисление коэффициентов многочлена g (x) и элемента , удовлетворяющих равенству (2), удобно проводить по схеме Горнера:

Пример. Разделить многочлен f (x)= x ⁵+2 x ⁴+3 x +2 на x +1.

В этом примере x ₀=-1. Составим таблицу:

Из таблицы следует, что f (x) = (x +1)(x ⁴+ x ³- x ²+ x +2).