Условия выпуклости. Точки перегиба.

Условия возрастания и убывания функции.

1) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция строго возрастала на этом интервале, достаточно, чтобы производная была положительна всюду на , т. е.

2) Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (не убывала) на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы производная была неотрицательна всюду на , т. е.

3) Аналогично, достаточным условием строгого убывания дифференцируемой функции , , является условие

;

необходимым и достаточным условием убывания — условие

Экстремумы функции.

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует окрестность точки , для всех точек которой верно неравенство

Если для всех из некоторой окрестности точки верно

строгое неравенство

то точка называется точкой строгого локального максимума функции .

Аналогично, если в некоторой окрестности точки выполняется

неравенство

то точка называется точкой локального минимума; если для всех

из некоторой окрестности точки верно строгое неравенство

то точка называется точкой строгого локального минимума.

Необходимое условие экстремума. Если – точка экстремума функции , то или – не дифференцируемая в точке . Точку называют критической точкой функции , если , или – не дифференцируемая в точке .

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируемая в проколотой окрестности точки и непрерывна в точке . Тогда:

1) если меняет знак с «+» на «-» в точке , то - точка максимума функции ;

2) если меняет знак с «-» на «+» в точке , то - точка минимума функции .

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция дважды дифференцируемая в проколотой окрестности точки и . Тогда:

1) если , то - точка максимума функции ;

2) если , то - точка минимума функции .

Если функция непрерывна на отрезке , то свои глобальные экстремумы (наибольшее и наименьшее значение функции) эта функция имеет либо в критических точках, либо на концах отрезка.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремум функцию .

Решение. определена при всех . По формуле производной произведения ;

и - критические точки . На верхней оси рис.1 обозначено распределение знаков , а на нижней – поведение функции .

Ответ. В интервалах

монотонно возрастает (

), в интервале

монотонно убывает,

2/5

min

max

Рис. 1

- точка максимума с , - точка минимума с .

Условия выпуклости. Точки перегиба.

Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх (вогнутой вниз) на некотором интервале , если ее график на отрезке расположен не ниже (не выше) хорды , где , , то есть

Условия выпуклости функции. Для того чтобы функция , дважды дифференцируемая на интервале , была выпуклой вниз на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы вторая производная была неотрицательна на , т. е.

, .

Условие

, ,

является достаточным условием строгой выпуклости вниз функции на интервале .

Аналогично, для функции , имеющей на интервале вторую производную, необходимым и достаточным условием выпуклости вверх на этом интервале является условие

, ,

а достаточным условием строгой выпуклости вверх — условие

, .

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , непрерывна в точке и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если функция при переходе через точку меняет направление выпуклости, то точка называется точкой перегиба функции . В этом случае точку (; ) называют точкой перегиба графика функции .

Необходимое условие точки перегиба. Если точка является точкой перегиба функции , то либо = 0, либо не существует.

Достаточное условие точки перегиба. Пусть функция дифференцируема в точке и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки . Тогда точка является точкой перегиба функции , если существует окрестность точки , в которой либо

при и при ,