Принцип возможных перемещений




15. Основные теоретические положения [1,2,4,5]

Для равновесия механической системы с идеальными связями необ­ходимо и достаточно чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещение системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесие выра­жается равенством:

Элементарная работа приложенной к телу силы F будет равен:

.

Элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота:

δA(M)= ,

где угол поворота равен:

.

ПРИМЕР 15.1

Пользуясь принципом возможных перемещений, определить для составной конструкции, изображенной на схеме (рис.15.1), реактивный момент и вертикальную составляющую реакции заделки, если . , , м, кН, кН.

 

Рис.15.2

 

Решение:

Для определения реактивного момента заменим заделку в точке А шарнирно-неподвижной опорой, компенсировав отброшенную связь ее реакцией – реактивной парой сил с неизвестным моментом (рис.15. 2).

Получившейся механической системе с одной степенью свободы даем возможное перемещение, повернув мысленно уголок АДВ на бесконечно малый угол , например по часовой стрелке. Точка В получит при этом возможное перемещение , направленное перпендикулярно АВ и равное по модулю ; точка С получит возможное перемещение , параллельное опорной плоскости шарнирно-неподвижной опоры С; стержень ВС повернется вокруг точки L – центра поворота, определенного как и МЦС в кинематике, как точка пересечения перпендикуляров, проведенных через точки В и С к направлениям их возможных перемещений. Угол , на который стержень ВС повернется вокруг точки L, определяется равенством:

, откуда

.

Для нахождения воспользуемся теоремой синусов. Из (см. рис. 15.2):

.

Отсюда:

.

Следовательно,

.

Теперь подсчитаем и приравняем к нулю сумму работ сил , и пары с моментом при возможном перемещении системы.

Используя правило: работа сил, приложенных к вращающемуся телу, равна взятому с соответствующим знаком произведению момента сил относительно оси вращения на угол поворота. Поэтому:

.

Здесь в первых скобах записана сумма моментов силы и реактивной пары относительно точки А. Для определения момента силы она была разложена на вертикальную и горизонтальную составляющие. Со знаком плюс записаны моменты, направленные в сторону поворота . Момент пары записан со знаком минус, так как она стремится вращать уголок в направлении, противоположном возможному перемещению . Во вторых скобках записано плечо силы относительно точки L. Знак минус перед второй скобкой поставлен потому, что сила стремится вращать стержень ВС вокруг точки L в направлении противоположном возможному перемещению .

Заменяя в предыдущем равенстве его выражением через и учитывая, что , , можем переписать его в виде:

.

Так как , то отсюда:

кН×м.

Для нахождения вертикальной составляющей реакции заделки А заменим в исходной схеме заделку ползуном, который может перемещаться в вертикальном направлении и к которому жестко прикреплен угол АДВ, а отброшенную связь компенсируем вертикальной реакцией (рис.15. 3).

Даем получившейся механической системе возможное перемещение, мысленно переместив угол АДВ поступательно вверх (). Стержень ВС повернется вокруг центра поворота G на угол . Уравнение принципа возможных перемещений запишется в виде:

,

откуда, учитывая, что , , , получаем

кН.

 

 

ПРИМЕР 15.2

 

Для заданной секции (рис.15. 4) определить реакции в опорах и , считая основание неразрывно связанным с почвой. Геометрические размеры и силовые показатели приведены в таблице 15.1

 

.

Таблица 15.1

Исходные данные для примера 15.2

АВ, м ВС, м СD, м q1, кН/м q2, кН/м q3, кН/м q4, кН/м
2,5 3,0 2,2 3,0 2,5 3,4 2,0

 

Заменим действие распределенных нагрузок сосредоточенными силами:

.

В соответствии с этим расчетная схема секции примет вид рисунка 15.4.

Реакция опоры представляет собой совокупность двух составляющих и . Для определения горизонтальной составляющей цилиндрический шарнир мысленно заменим ползуном, дающим возможность перемещения точки в горизонтальном направлении. Придадим системе возможное перемещение под действием реакции . В этом случае, звено примет положение , переместившись поступательно на величину влево (рис.15.5.).

Рис15.4 Расчетная схема

Рис.15.5

 

Звено займет положение , повернувшись на угол относительно точки , звено - положение . Угол его поворота, очевидно, равен углу поворота . Вследствие полости угла поворота вертикальным перемещением звена можно пренебречь. Согласно вышесказанному запишем уравнение работ, выражающее принцип возможных перемещений:

;

откуда:

.

Для определения вертикальной составляющей заменим мысленно цилиндрический шарнир ползуном, дающим возможность вертикального перемещения точки (рис.14.6).

Рис.14.6

 

Придадим системе возможное перемещение под действием реакции . Тогда звено будет находиться в плоском движении с мгновенным центром вращения в точке и повернется на угол , звенья и повернутся относительно соответственно шарниров и на одинаковый угол ,, а вертикальным перемещением звена можно пренебречь. Запишем уравнение работ:

.

Выразим возможные перемещения точек приложения сил через . угол поворота звена вокруг точки :

;

где .

Возможное перемещение точки :

,

где

Возможное перемещение точки С:

.

Подставим найденные величины:

.

Откуда:

Реакция в шарнире также может быть разложена на две составляющие , . Произведем с шарниром те же преобразования, что и для шарнира . Для расчетной схемы с горизонтальным ползуном (рис.7), которая предполагает поступательное перемещение звеньев , и влево на величину и поворот звена относительно шарнира на угол , получим следующее уравнение работ:

Откуда:

.

Рис.14.7

 

Для определения горизонтальной составляющей реакции в опоре мысленно заменим шарнир горизонтальным ползуном (рис.14.8).

Рис.14.8

 

Мгновенный центр вращения звена находится в точке , следовательно, данная схема предполагает только движение одного звена системы: поворот звена вокруг точки на угол . Составим уравнение работ, придав системе возможное перемещение в точке :откуда:

.

Заменим мысленно шарнир в точке на вертикальный ползун и придадим системе возможное перемещение в направлении составляющей реакции (рис.14.9).

Рис.14.9

 

В этом случае, звено повернется на угол относительно точки , а звено опустится вертикально вниз на величину , причем будет соблюдено соотношение:

.

Запишем уравнение работ:

;

откуда:

.

Реакция направлена в противоположную сторону.

Для определения вертикальной составляющей реакции воспользуемся расчетной схемой, представленной на рис.14.10.

Рис.14.10

 

Заменив шарниры , , вертикальными ползунами и добавив соответственно реакции , и придадим системе возможное перемещение в вертикальном направлении . В этом случае все звенья системы переместятся поступательно на эту величину. Уравнение работ будет иметь вид:

;

откуда:

Таким образом, определены все составляющие реакций в опорах , , . Произведем проверку решения, для этого составим для уравнения равновесия сил:

Довольно значительные расхождения обусловлены некоторыми допущениями, принятыми при решении.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-04-01 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: