Д-3. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Задача Д-3.1. Механическая система (рис.17.4) приводится в движение из состояния покоя под действием пары с моментом или силы . Масса тележки с грузом или одного груза 1 задана в таблице 1; масса четырех колес тележки 2 ;

масса барабана с колесом 3 ; масса колеса 4 ; массой подвижного блока 2 пренебречь. Наружный радиус задан в таблице17.1; ; ; ; радиус инерции тела 3 . Колеса тележки 2 и колесо 4 считать сплошными цилиндрами, трос – невесомой, нерастяжимой нитью. Колеса тележки катятся по наклонной плоскости без проскальзывания. При движении на барабан 3 действует момент сил сопротивления .

. С помощью общего уравнения динамики определить зависимость М или Р от ускорения .

Таблица 17.1

Исходные данные для задачи Д-3.1

№ условия	, кг	, м
		0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,33 0,37 0,48 0,45 0,29 0,32 0,31 0,39		0,5 0,4 0,35 0,3 0,3 0,25 0,25 0,2 0,32 0,41 0,26 0,28 0,29 0,25 0,24 0,27

Рис.17.4

Рис.17.4-продолжение

Рис.17.4-окончание

Задача Д 3.2. Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3 – 6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. 17.5, табл. 17.2). Система движется в вертикально плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: м, м, а шкива 2 - м, м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно м и м.

Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса , …, шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).

Указания. ЗадачаД 3.21 - на применение к изучению движения системы общего уравнения динамики (принципа Даламбера - Лагранжа). Учесть при этом, что для однородного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии (шкива), система сил инерции приводится к паре с моментом , где - момент инерции тела относительно оси вращения, - угловое ускорение тела; направление противоположно направлению .

Таблица 17.2

Исходные данные для задачи Д-3.2

вариант	I	II	III
				, Н м

					0,94
					1,25
					0,68
					1,85
					1,24

Продолжение таблицы 17.2


							0,93
							1,85
							0,65
							0,94
							1,28
							1,23
							0,95
							0,85
							1,45
							1,25
							1,85
							1,95
							1,55

Рис.17.5

Рис. 17.5 – окончание

Практическое занятие 18

Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

18. Уравнения Лагранжа [1,2,4,5,6]

Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений, состоит в том что их вид и число не зависят, ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется числом уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (18.1) входят обобщенные активные силы и следовательно эти уравнения позволяют заранее исключить их рассмотрения все наперед известные реакции связей.

(18.1)

Уравнения (18.1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа. Число этих уравнений как видим равно числу степеней свободы системы.

Выбираем за обобщенную координату перемещение груза S₁ и записываем уравнение Лагранжа:

(18.2)

Обобщенная сила равна

(18.3)

Пример 18.1

Сплошной однородный цилиндр 1 массой кг и радиусом м может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси . С цилиндром жестко скреплены тонкие однородны стержни 3 и 4 массой и длиной каждый. В середине В стержня 4 к нему прикреплена нить, перекинутая через невесомый блок 2 и намотанная на цилиндр 5, одинаковый с цилиндром 1. При движение системы ось цилиндра 5 перемещается по вертикали. В точке Д к стержню 3 прикреплена пружина жесткостью кН/м. В начальном положении системы стержень 3 и участок нити между стержнем и блоком расположены горизонтально, а стержень 4 и ось пружины – вертикально; пружина растянута на величину (рис. 18.1).

Начальные значения обобщенных координат и равны нулю, а обобщенных скоростей - , . Трением в осях , , массой пружины и нити пренебрегаем.

Используя уравнение Лагранжа II рода, найти кинематические уравнения движения системы при малых отклонениях цилиндра 1 от начального положения и определить круговую частоту и период колебания системы.

Решение.

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий вращающегося цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями и цилиндра 5, совершающего плоскопараллельное движение:

В этом выражении - момент инерции цилиндра относительно его оси; - момент инерции стержня; в квадратных скобках – момент инерции цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями.

Скорость центра цилиндра 5 равна сумме скорости точки нити и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса .

Для определения рассмотрим положение системы, при котором цилиндр 1 и стержни 3 и 4 отклонены от начального положения на угол (рис. 18.2). Скорость точки нити равна скорости точки Е, в которой участок нити ВЕ касается блока 2. Так как нить нерастяжима, то проекция скоростей точек В и Е на направление нити равны. Поэтому:

Теперь воспользуемся малостью отклонений стержней от начального положения. Как известно, функция и можно разложить в ряды Маклорена:

;

При «малых» (до 0,1 радиана) значения и отличаются от первых членов соответствующих разложений менее чем на 0,5%. Поэтому можно принять , . Так как при «малом» угол также является «малым», то . Поэтому в этом случае:

, тогда .

Подставляя в ранее написанное выражение для Т, после простых преобразований приводим его к виду:

Для нахождения обобщенных сил и , соответствующих обобщенным координатам и , вновь обратимся к рис. 18.2. Чтобы определить , дадим мысленно системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата изменяется на бесконечно малую величину , а обобщенная координата не изменяется. В этом случае точка В получит возможное перемещение , направленное по вектору . Такие же по абсолютному значению перемещения при «малых» получат точки Е, G, К и . Поэтому сила тяжести цилиндра 5 совершит работу . Работа сил тяжести стержней и силы упругости пружины равна произведению их момента относительно оси вращения на угол поворота , т.е.

Из рис. 1.2 видно (см. ), что

При . Этот результат означает, что угол является малым более высокого порядка, чем (имеет порядок квадрата ), и по сравнению с им можно пренебречь. Тогда сумма работ всех задаваемых сил при повороте цилиндра 1 на угол будет:

Укорочение пружины, соответствующее положению цилиндра 1, повернутому из начального положения на угол , равно разности . Длина укоротившейся пружины равна

или при «малых» :

Следовательно, укорочение пружины

Так как в начальный момент пружина была растянута на величину , то ее растяжение уменьшается и станет , а упругая сила будет .

Обобщенна сила, соответствующая углу :

или окончательно

Для нахождения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате , нужно сообщить системе возможное перемещение, при котором останется неизменным, а увеличивается на бесконечно малую величину . В этом случае работу совершает только сила тяжести цилиндра 5: .

Обобщенная сила:

Теперь составим уравнение Лагранжа:

, .

Частные производные:

; .

, .

Уравнение Лагранжа будет иметь вид:

;

Из второго уравнения после сокращения его на :

Подставив это выражение в первое уравнение, после простых преобразований получим:

Обозначим:

Величина:

1/с

и представляет искомую круговую частоту колебаний.

Период колебаний:

с.

Общее решение дифференциального уравнения малых колебаний цилиндра:

есть функция:

Для нахождения постоянных интегрирования и используем начальные условия: при , , (1/с).

Из первого условия следует ; из второго условия, учитывая, что:

получаем ; . Поэтому окончательно:

Для нахождения интегрируем ранее полученное уравнение:

Имеем:

Из начальных условий: при , , следует ; . Тогда:

Интегрируя еще раз, получаем:

Из начальных условий: при , , следует . Поэтому:

После подстановки числовых значений:

Пример 18.2

Вывести кинематические уравнения движения системы, показанной на рис.18.3, пренебрегая массой пружины. Качение катка происходит без проскальзывания. Трением в оси пренебречь. Блок и каток – одинаковые цилиндры радиусом м и массой кг, равномерно распределенной по их объему. Жесткость пружины Н/м.

Начальные значения обобщенных координат и равны нулю; начальное удлинение пружины ; начальные значения обобщенных скоростей м/с, .

Решение:

Кинетическая энергия системы:

Обобщенные силы:

, ,

где - сила упругости пружины.

Уравнение Лагранжа для рассмотренной системы:

; .

Сила упругости зависит от деформации пружины, которая равна , где - начальное значение деформации. Обозначим . Тогда ; . С другой стороны, дифференциальные уравнения движения системы можно представить в виде: