Задача Д-3.1. Механическая система (рис.17.4) приводится в движение из состояния покоя под действием пары с моментом или силы . Масса тележки с грузом или одного груза 1 задана в таблице 1; масса четырех колес тележки 2 ;
масса барабана с колесом 3 ; масса колеса 4 ; массой подвижного блока 2 пренебречь. Наружный радиус задан в таблице17.1; ; ; ; радиус инерции тела 3 . Колеса тележки 2 и колесо 4 считать сплошными цилиндрами, трос – невесомой, нерастяжимой нитью. Колеса тележки катятся по наклонной плоскости без проскальзывания. При движении на барабан 3 действует момент сил сопротивления .
. С помощью общего уравнения динамики определить зависимость М или Р от ускорения .
Таблица 17.1
Исходные данные для задачи Д-3.1
№ условия | , кг | , м | ||
0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,33 0,37 0,48 0,45 0,29 0,32 0,31 0,39 | 0,5 0,4 0,35 0,3 0,3 0,25 0,25 0,2 0,32 0,41 0,26 0,28 0,29 0,25 0,24 0,27 |
Рис.17.4
Рис.17.4-продолжение
Рис.17.4-окончание
Задача Д 3.2. Механическая система состоит из однородных ступенчатых шкивов 1 и 2, обмотанных нитями, грузов 3 – 6, прикрепленных к этим нитям, и невесомого блока (рис. 17.5, табл. 17.2). Система движется в вертикально плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом , приложенной к одному из шкивов. Радиусы ступеней шкива 1 равны: м, м, а шкива 2 - м, м; их радиусы инерции относительно осей вращения равны соответственно м и м.
Пренебрегая трением, определить ускорение груза, имеющего больший вес; веса , …, шкивов и грузов заданы в таблице в ньютонах. Грузы, веса которых равны нулю, на чертеже не изображать (шкивы 1, 2 изображать всегда как части системы).
Указания. ЗадачаД 3.21 - на применение к изучению движения системы общего уравнения динамики (принципа Даламбера - Лагранжа). Учесть при этом, что для однородного тела, вращающегося вокруг своей оси симметрии (шкива), система сил инерции приводится к паре с моментом , где - момент инерции тела относительно оси вращения, - угловое ускорение тела; направление противоположно направлению .
Таблица 17.2
Исходные данные для задачи Д-3.2
вариант | I | II | III | ||||
, Н м | |||||||
0,94 | |||||||
1,25 | |||||||
0,68 | |||||||
1,85 | |||||||
1,24 |
Продолжение таблицы 17.2
0,93 | |||||||
1,85 | |||||||
0,65 | |||||||
0,94 | |||||||
1,28 | |||||||
1,23 | |||||||
0,95 | |||||||
0,85 | |||||||
1,45 | |||||||
1,25 | |||||||
1,85 | |||||||
1,95 | |||||||
1,55 |
Рис.17.5
Рис. 17.5 – окончание
Практическое занятие 18
Применение уравнений Лагранжа второго рода к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы
18. Уравнения Лагранжа [1,2,4,5,6]
.
Уравнения Лагранжа дают единый и притом достаточно простой метод решения задач динамики. Важное преимущество этих уравнений, состоит в том что их вид и число не зависят, ни от количества тел (или точек), входящих в рассматриваемую систему, ни от того, как эти тела движутся; определяется числом уравнений Лагранжа только числом степеней свободы системы. Кроме того, при идеальных связях в правые части уравнений (18.1) входят обобщенные активные силы и следовательно эти уравнения позволяют заранее исключить их рассмотрения все наперед известные реакции связей.
(18.1)
Уравнения (18.1) представляют собой дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах или уравнениях Лагранжа. Число этих уравнений как видим равно числу степеней свободы системы.
Выбираем за обобщенную координату перемещение груза S1 и записываем уравнение Лагранжа:
(18.2)
Обобщенная сила равна
(18.3)
Пример 18.1
Сплошной однородный цилиндр 1 массой кг и радиусом м может вращаться без трения вокруг неподвижной горизонтальной оси . С цилиндром жестко скреплены тонкие однородны стержни 3 и 4 массой и длиной каждый. В середине В стержня 4 к нему прикреплена нить, перекинутая через невесомый блок 2 и намотанная на цилиндр 5, одинаковый с цилиндром 1. При движение системы ось цилиндра 5 перемещается по вертикали. В точке Д к стержню 3 прикреплена пружина жесткостью кН/м. В начальном положении системы стержень 3 и участок нити между стержнем и блоком расположены горизонтально, а стержень 4 и ось пружины – вертикально; пружина растянута на величину (рис. 18.1).
Начальные значения обобщенных координат и равны нулю, а обобщенных скоростей - , . Трением в осях , , массой пружины и нити пренебрегаем.
Используя уравнение Лагранжа II рода, найти кинематические уравнения движения системы при малых отклонениях цилиндра 1 от начального положения и определить круговую частоту и период колебания системы.
Решение.
Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий вращающегося цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями и цилиндра 5, совершающего плоскопараллельное движение:
.
В этом выражении - момент инерции цилиндра относительно его оси; - момент инерции стержня; в квадратных скобках – момент инерции цилиндра 1 с жестко присоединенными к нему стержнями.
Скорость центра цилиндра 5 равна сумме скорости точки нити и скорости точки во вращательном движении вокруг полюса .
Для определения рассмотрим положение системы, при котором цилиндр 1 и стержни 3 и 4 отклонены от начального положения на угол (рис. 18.2). Скорость точки нити равна скорости точки Е, в которой участок нити ВЕ касается блока 2. Так как нить нерастяжима, то проекция скоростей точек В и Е на направление нити равны. Поэтому:
.
Теперь воспользуемся малостью отклонений стержней от начального положения. Как известно, функция и можно разложить в ряды Маклорена:
;
.
При «малых» (до 0,1 радиана) значения и отличаются от первых членов соответствующих разложений менее чем на 0,5%. Поэтому можно принять , . Так как при «малом» угол также является «малым», то . Поэтому в этом случае:
, тогда .
Подставляя в ранее написанное выражение для Т, после простых преобразований приводим его к виду:
.
Для нахождения обобщенных сил и , соответствующих обобщенным координатам и , вновь обратимся к рис. 18.2. Чтобы определить , дадим мысленно системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата изменяется на бесконечно малую величину , а обобщенная координата не изменяется. В этом случае точка В получит возможное перемещение , направленное по вектору . Такие же по абсолютному значению перемещения при «малых» получат точки Е, G, К и . Поэтому сила тяжести цилиндра 5 совершит работу . Работа сил тяжести стержней и силы упругости пружины равна произведению их момента относительно оси вращения на угол поворота , т.е.
.
Из рис. 1.2 видно (см. ), что
.
При . Этот результат означает, что угол является малым более высокого порядка, чем (имеет порядок квадрата ), и по сравнению с им можно пренебречь. Тогда сумма работ всех задаваемых сил при повороте цилиндра 1 на угол будет:
.
Укорочение пружины, соответствующее положению цилиндра 1, повернутому из начального положения на угол , равно разности . Длина укоротившейся пружины равна
,
или при «малых» :
.
Следовательно, укорочение пружины
.
Так как в начальный момент пружина была растянута на величину , то ее растяжение уменьшается и станет , а упругая сила будет .
Обобщенна сила, соответствующая углу :
,
или окончательно
.
Для нахождения обобщенной силы , соответствующей обобщенной координате , нужно сообщить системе возможное перемещение, при котором останется неизменным, а увеличивается на бесконечно малую величину . В этом случае работу совершает только сила тяжести цилиндра 5: .
Обобщенная сила:
.
Теперь составим уравнение Лагранжа:
, .
Частные производные:
; .
, .
Уравнение Лагранжа будет иметь вид:
;
.
Из второго уравнения после сокращения его на :
.
Подставив это выражение в первое уравнение, после простых преобразований получим:
.
Обозначим:
.
Величина:
1/с
и представляет искомую круговую частоту колебаний.
Период колебаний:
с.
Общее решение дифференциального уравнения малых колебаний цилиндра:
есть функция:
.
Для нахождения постоянных интегрирования и используем начальные условия: при , , (1/с).
Из первого условия следует ; из второго условия, учитывая, что:
,
получаем ; . Поэтому окончательно:
.
Для нахождения интегрируем ранее полученное уравнение:
.
Имеем:
.
Из начальных условий: при , , следует ; . Тогда:
.
Интегрируя еще раз, получаем:
.
Из начальных условий: при , , следует . Поэтому:
.
После подстановки числовых значений:
.
Пример 18.2
Вывести кинематические уравнения движения системы, показанной на рис.18.3, пренебрегая массой пружины. Качение катка происходит без проскальзывания. Трением в оси пренебречь. Блок и каток – одинаковые цилиндры радиусом м и массой кг, равномерно распределенной по их объему. Жесткость пружины Н/м.
Начальные значения обобщенных координат и равны нулю; начальное удлинение пружины ; начальные значения обобщенных скоростей м/с, .
Решение:
Кинетическая энергия системы:
.
Обобщенные силы:
, ,
где - сила упругости пружины.
Уравнение Лагранжа для рассмотренной системы:
; .
Сила упругости зависит от деформации пружины, которая равна , где - начальное значение деформации. Обозначим . Тогда ; . С другой стороны, дифференциальные уравнения движения системы можно представить в виде:
; .
Вычитая из первого уравнение второе, получаем
,
или
.
Подставляя заданное значение , получим:
, где .
Решением этого дифференциального уравнения при начальных условиях: при , , является функция: . Тогда .
Дифференциальные уравнения движения системы принимают вид:
;
.
Интегрируя эти уравнения при начальных условиях: , , , , , получим:
;
;
;
.
После подстановки численных значений получим:
;
.
Пример 18.3
Дано: , , , , , , , , , (рис.18.4)
Решение:
Определим P с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода. Выберем за обобщенную координату перемещение груза и запишем уравнение Лагранжа:
.
Кинетическая энергия системы:
.
Выразим и через :
,
Рис.18.4
Подставив эти значения, а также , , определим кинетическую энергию системы:
.
Определим производные:
; .
Для определения обобщенной силы, сообщим системе возможное перемещение при . Обобщенная сила определяется с помощью выражения:
.
Подставив:
,
.
Получим:
.
Подставив полученные результаты в исходную формулу, получим:
.
Отсюда определяем :
.
Это выражение совпадает с выражениями полученными при решении задачи другими способами.