На подготовительном этапе к решению составных задач с пропорциональными величинами ученики:
- знакомятся с величинами;
- уясняют связи между пропорциональными величинами;
- наблюдают над изменением одной из величин при изменении другой, при этом третья величина постоянна.
Для изучения связей в нескольких группах величин отводят специальные уроки, обобщают эти связи, учат распознавать в текстах задач тройки пропорциональных величин, связи в которых специально не рассматривались (например, масса 1 ящика, количество ящиков, общая масса)
Главным в поиске решения составных задач трех типов с пропорциональными величинами является нахождение значения постоянной величины. Способы нахождения значения постоянной величины для каждого типа задач различны.
- Подготовительная работа к решению задач на нахождение четвертого пропорционального должна предусмотреть ознакомление с величинами и связями между ними.
- Подготовкой к решению задач на пропорциональное деление является умение решать задачи на нахождение четвертого пропорционального. Решаются специальные подготовительные задачи, в которых раскрывается способ нахождения постоянной величины по суммам значений переменных величин. Например, задача «В один ларек привезли 5 одинаковых ящиков с яблоками, а во второй – 7 таких же ящиков. Масса всех ящиков 84 кг. Найдите массу 1 ящика с яблоками».
- В подготовительную работу к задачам на нахождение неизвестного по двум разностям полезно включать задачи-вопросы. Например:
1) Сестра купила 5 одинаковых тетрадей, а брат 8 таких же тетрадей. Кто из них уплатил денег больше? Почему? А сколько тетрадей брат заплатил столько же денег, сколько и сестра?
2) Брат и сестра купили тетради по одинаковой цене. Брат купил на 3 тетради больше, чем сестра и уплатил на 12 руб. больше. Сколько стоит одна тетрадь?
Для решения задач на нахождение неизвестного по двум разностям рассматриваются два вида подготовительных задач (простые и составные), в которых постоянная величина находится по разностям значений двух переменных величин. Например:
Задача 1. В два ларька привезли одинаковые ящики с яблоками. Во второй ларек привезли на 2 ящика больше. Масса всех ящиков с яблоками во втором ларьке оказалась на 14 кг больше. Найти массу одного ящика с яблоками.
Задача 2. В один ларек привезли 5 одинаковых ящиков с яблоками, а во второй – 7 таких же ящиков. Масса всех ящиков с яблоками во втором ларьке оказалась на 14 кг больше, чем в первом. Найти массу одного ящика с яблоками.
Ознакомление с новым типом задач происходит на отдельном уроке. На подготовительном уроке повторяют связи величин, которые будут использоваться в этой задаче. Целесообразно сразу не предлагать новую задачу, а получить ее в совместной работе с детьми по преобразованию задачи уже известного им вида. Этот прием помогает включить в логику решения ранее установленные связи величин, выделить ключевой момент поиска решения всех типовых задач – отыскание значения постоянной величины и обобщить способы их решения.
Можно предложить сразу готовую задачу.
Например, задача на нахождение неизвестного по двум разностям:
«В один ларек привезли 5 одинаковых ящиков с яблоками, а во второй – 7 таких же ящиков. Масса всех ящиков с яблоками во втором ларьке оказалась на 14 кг больше, чем в первом. Какова масса ящиков с яблоками в каждом ларьке?»
1 этап. Анализ текста задачи
- Прочитайте задачу.
- О каких величинах идет речь в задаче?
- Запишите задачу кратко в таблицу. Объясните, что показывает каждое число. О чем говорят слова «одинаковые», «такие же» ящики?
- Прочитайте вопрос задачи. Как вы понимаете слова «в каждом» ларьке? Сколько вопросов в задаче? Сколько будет ответов?
2 этап. Поиск плана решения задачи.
- Почему во втором ларьке масса ящиков больше?
- Что значит, что во втором ларьке масса ящиков с яблоками на 14 кг больше? (Такая же масса да еще 14 кг)
- Сколько ящиков во втором ларьке имеют такую же массу, что и ящики в первом ларьке. Покажите на схеме.
- Можем ли мы узнать, сколько ящиков имеют массу 14 кг?
- Что можно узнать, зная, сколько ящиков имеют массу 14 кг?
- Зная массу 1 ящика и, что в первый ларек привезли 5 ящиков, что можно узнать?
- Зная массу 1 ящика и, что во второй ларек привезли 7 ящиков, что можем узнать?
Расскажи план решения задачи. Что узнаешь каждым действием?
3 этап. Выполнение плана решения.
1) 7 – 5 = 2 (ящ.) – имеют массу 14 кг
2) 14: 2 = 7 (кг) – масса 1 ящика
3) 7 · 5 = 35 (кг) – масса ящиков в 1 ларьке
4) 7 · 7 = 49 (кг) – масса ящиков во 2 ларьке
Ответ: масса ящиков в 1 ларьке – 35 кг, во втором – 49 кг
4 этап. Работа над решенной задачей
- Ответили ли мы на вопрос задачи?
- Как проверить, правильно ли мы решили задачу? (например, 49 – 35 = 14 (кг0, получили число 14 кг, оно соответствует условию задачи, значит задача решена верно).
- Какие слова важны в задаче, без них нельзя было бы решить задачу?
- Можно ли было решить задачу другим способом?
- Что изменится, если в условии заменить число 14 на 20?
При решении задач на пропорциональное деление вводят новый для учащихся способ проверки – установление соответствия между числами, полученными в ответе, и числом, данным в задаче. Этот вид проверки используется и при решении задач на нахождение неизвестного по двум разностям.
На этапе закрепления умения решать типовые задачи с пропорциональными величинами:
- усложняются задачи данного типа (используются в задачах более сложные величины, включаются другие виды задач этого же типа),
- сравниваются задачи с пропорциональными величинами разных видов, обобщается их способ решения,
- увеличивается доля самостоятельности учеников при выполнении заданий тренировочного и творческого характера.