Аналитическое решение задач контактного взаимодействия

Из многообразия классических задач механики контактного взаимодействия для анализа моделирования контакта в программном комплексе ANSYS выбрано два варианта контактного взаимодействия сферического штампа с пространством и сферой. Выбор контакта сферического штампа с разными объектами связан с тем, что такое классическое контактное взаимодействие близко к контакту элементов сферических опорных частей: контакт сферического сегмента со стальной плитой через антифрикционную полимерную прослойку.

Рассмотрим аналитическое решение задач: вдавливания сферического штампа в пространство и вдавливания сферического штампа в сферу большего радиуса.

Задача о вдавливании стального сферического штампа в полимерное пространство без трения. Упругий сферический штамп радиуса R вдавливается в упругое полимерное пространство (рис.2.2.), где d – глубина проникновения сферического штампа в пространство, a – радиус области контакта.

Глубина проникновения и радиус образовавшейся области контакта имеют следующую зависимость:

. (1)

Величина нагрузки, необходимой для вдавливания сферического штампа в упругое пространство на глубину d равна

, (2)

где , и - модули упругости, и - коэффициенты Пуассона обоих тел.

Распределение контактного давления по контактной поверхности определяется по формуле:

, (3)

где .

В качестве материла сферического штампа и упругого пространства выбраны модифицированный фторопласт и сталь соответственно. В таб. 2.1. приведены свойства материалов и характеристики контакта, полученные в результате аналитического решения задачи.

Таблица №2.1.

Основные характеристики материалов, геометрии и нагрузки

Аналитическое решение, полученное при заданных механических характеристиках материалов сферического штампа и пространства, а так же их геометрических размеров и величины нагрузки приведено, ниже, в табл.2.

Таблица №2.2.

Аналитическое решение

a, м	, Па
0.01
0.02	68096977.9
0.03	66299906.9
0.04	63698890.1
0.05	60189793.6
0.06	55600949.6
0.07	49633775.3
0.08	41700712.2
0.09	30294865.1
0.1	0.0

Распределение контактного давления по радиусу области контакта сферического штампа и пространства (Табл. 2.2.) представлено на рис. 2.3., так как аналитическое решение не учитывает трение по сопрягаемым поверхностям значение контактного касательного напряжения равно нулю на всей области контакта.

, Па

, м

Полученное распределение контактного давления для задачи о вдавливании сферического упругого штампа в упругое полимерное пространство качественно не противоречит результатам решения аналогичных задач [10, 12 и др.].

Задача о вдавливании стального сферического штампа в сферу большего радиуса без трения. Изначально две упругие сферы имеют одну точку контакта (рис.2.4.), в результате действия нагрузки область контакта увеличивается и при этом область контакта представляет собой площадку в форме круга некоторого радиуса , при этом d – глубина проникновения сферического штампа в сферу.

Радиус площадки контакта находится по формуле:

,

где и - радиусы сферического штампа и нижней сферы соответственно.

При контакте сферического штампа со сферой, уравнения (1)-(3), которые определяют необходимую величину нагрузки, распределение контактного давления по поверхности контакта, справедливы и для этой тестовой задачи соответственно для радиуса:

.

В качестве материла сферического штампа радиусами и сферы радиуса выбраны модифицированный фторопласт и сталь соответственно. В таб. 2.3. приведены свойства материалов и характеристики области контакта, полученные в результате аналитического решения задачи.

Таблица №2.3.

Основные характеристики материалов, геометрии и нагрузки

Аналитическое решение, полученное при заданных механических характеристиках материалов сферического штампа и сферы, а так же их геометрических размеров и силы вдавливания приведено, ниже, в табл.2.4.

Таблица №2.4.

Аналитическое решение

, м	, Па
	89725646.6
0.01	89021905.2
0.02	86876483.8
0.03	83177900.6
0.04	77704689.4
0.05	70042060.5
0.06	59347936.8
0.07	43438241.9
0.08

Распределение контактного давления по радиусу области контакта сферического штампа и сферы (Табл. 2.4.) представлено на рис. 2.5., так как аналитическое решение не учитывает трение по сопрягаемым поверхностям значение контактного касательного напряжения равно нулю на всей области контакта.

, Па

, м

Аналогично первой рассмотренной классической задачи контакта, распределение контактного давления качественно не противоречит результатам решения подобных задач контакта [10, 12 и др.].