МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ. МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МАРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ И ОПРЕДЕЛЁННЫЙ

ИНТЕГРАЛЫ

Типовой расчет для студентов

Специальностей 060800, 061000, 061100, 061500

Йошкар-Ола

УДК 51.517.3 (07)

 

 

Неопределённый и определённый интегралы: Типовой расчет / Сост. Ю.А.Фомина, Л.Н.Шарафутдинова. - Йошкар-Ола: МарГТУ, 2004.- 84с.

 

 

Приведены 40 вариантов заданий, составленных в соответствии с учебным планом по разделу «Неопределённые и определённые интегралы».

Для студентов 1 курса факультета управления и права дневной формы обучения

 

 

Печатается по решению

редакционно-издательского совета МарГТУ

 

 

Рецензент: заведующий кафедрой математического анализа и теории функции МарГУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент В.П. Микка

 

 

© МарГТУ, 2004

 

Порядок выполнения и защиты типового расчета

 

1. Выполнение и защита типового расчета проводится по графику самостоятельной работы студентов.

2. Все задачи должны быть решены письменно и подробно. Нумерация задач должна совпадать с их номером в типовом расчете.

3. Во время защиты типового расчета студент должен уметь отвечать на теоретические вопросы, пояснять решения задач, решать задачи аналогичного типа.

4. Типовой расчет следует выполнять в отдельной тетради. Первая страница оформляется по следующему образцу:

Марийский государственный технический университет   Неопределённый и определённый интегралы     ТИПОВОЙ РАСЧЕТ   студента(ки) факультета____________________________________ наименование факультета   специальности_____________________________ группы_________ наименование специальности № группы   _________________________________________________________ Ф.И.О. полностью

 

 

Вариант 1.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) dx;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

 

8. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

a) ;

б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) , ;

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 2.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

 

8. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 3.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

1. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

1. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

1. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

1. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

а) ;	б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 4.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

1. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

1. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

1. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

1. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

1. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 5.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 6.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 7.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислите определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

,

 

11. Вычислите несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

a) ;

б) .

12. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 8.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

a) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

a) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

a) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

a) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

a) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислите определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислите определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислитe определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислитe несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислитe площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 9.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислитe определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислитe определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислитe определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислитe несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислитe площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 10.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислитe определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислитe определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислитe определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислитe несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислитe площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 11.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислитe определённый интеграл:

 

a) ;

б) .

 

9. Вычислитe определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислитe определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислитe несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислитe площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) ,

 

б) прямыми и графиком функции

.

Вариант 12.

 

1. Найдите неопределённые интегралы, непосредственно интегрируя:

а) ;

б) .

 

2. Найдите неопределённые интегралы методом подведения под знак дифференциала:

а) ;

б) .

 

3. Найдите неопределённые интегралы, используя формулу интегрирования по частям:

а) ;

б) .

 

4. Найдите неопределённые интегралы от тригонометрических функций:

а) ;

б) .

 

5. Найдите неопределённые интегралы:

а) ;

б) .

 

6. Найдите неопределённые интегралы от дробно-рациональных функций:

а) ;

б) dx.

 

7. Найдите неопределённые интегралы, применив необходимую замену переменной:

а) ;

б) .

 

8. Вычислитe определённый интеграл:

a) ;

б) .

 

9. Вычислитe определённый интеграл, используя формулу интегрирования по частям:

 

.

 

10. Вычислитe определённый интеграл, используя указанную замену переменной:

 

, .

 

11. Вычислитe несобственные интегралы либо докажите их расходимость:

 

	а) ;	б) .

12. Вычислитe площадь фигуры, ограниченной линиями: