Пример 1. Маховик в виде колеса массой m = 30 кг и диаметром 60 см вращается с угловой скоростью w, изменяющейся по закону w = Аt10, где А = 2 рад/с11. Найти закон движения j(t), угловое ускорение e (t), момент сил М(t) и момент количества движения L(t). Вычислить эти величины через 2 с после начала движения. Считать начальный угол j(t =0) = j0 = 0.
Решение.
Перевод в СИ
m = 30 кг 30 кг
D = 60 см 0,6 м
w = Аt10 = 2× t10рад/с11 2× t10рад/с
t = 2 c 2 c
Определить: j(t), e (t), М(t), L(t).
Если известен закон движения, то угловая скорость определяется как первая производная от j(t) по времени:
dj
w(t) = ¾¾ (1)
dt
Закон движения j(t) находится решением обратной задачи, т.е. интегрированием угловой скорости по времени:
j(t) = w(t) d t + j0 (2)
При w(t) = 2 ×t10 ,с учетом j0 = 0:
j(t) = 2×t10 d t + j0 = (3)
В момент времени t = 2 с маховик повернулся на угол j(t =2 с) = = 372,3 » 372 рад.
Угловое ускорение определяется как первая производная от угловой скорости по времени:
dw d
e = ¾¾ = ¾¾ (2 ×t10) = 10 × 2× t9 (4)
dt dt
В момент времени t = 2 c угловое ускорение равно:
e (t = 2c) = 10 × 2 × 29 = 10240 » 1,02× 104 рад/с2
Момент сил можно определить из основного закона динамики для вращательного движения твердого тела:
М = I × e (5)
где I - момент инерции тела.
В нашем случае момент инерции колеса равен:
I = mR2 = mD2/4 (6)
Подставляя выражения (4) и (6) в (5) получим:
mD2 20 t9
М = ¾¾ ×¾¾
При t = 2 c
30 × (0,6)2 20×29
M = ¾¾ ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 27648 » 2,77 × 104 Н×м
Момент количества движения равен:
L = I w (7)
Подставляя выражения для w и (6) в (7) получим:
mD2 2 t10
L = ¾¾ ¾¾
При t = 2 c
30× (0,6)2 × 2× 210
L = ¾¾ ¾¾ ¾¾ = 5529,6 = 5,53× 103 кг м2/с
Проверим размерность полученных выражений.
рад с11
[j] = [А] [t11] = ¾¾¾¾ = рад;
с11
рад с9
[e] = [А] [t9] = ¾¾¾¾ = рад/с2
с11
mD2 × A t9 кг м2 с9 кг м м
[M] = [¾¾¾¾¾¾¾¾ ] = ¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = Н м
4 11 с11 с2
кг м2 c10
[L] = [ m D2 A t10 ] = ¾¾¾¾ = кг м2 с-1
c11
Ответ: j(t=2) =372рад, e(t=2с)= 1,02× 104 рад/с2, М(t) =2,77 × 104 Н м
L(t) = 5,53× 103 кг м2/с
Пример 2. Соковыжималка раскручивается до 7200 об/мин. Определить силу, действующую на кусочек яблока массой 5г, при диаметре камеры D = 24 см. Вычислить линейную скорость кусочка яблока. Оценить мощность соковыжималки, если максимальные обороты достигаются за 8с. Барабан представляет собой полуцилиндр, масса дна и кольца примерно одинакова и равна 100 г. Яблочная масса при загрузке составляет 300 г.
Решение. СИ
n = 7200 об/мин = 120 с-1
R = D/2 = 12 см = 0,12 м
m = 5 г = 5 ·10-3 кг
m1 = 100 г = 0,1 кг
m2 = 300 г = 0,3 кг
t = 8с
Определить: силу F, скорость V, мощность Р
Кусок яблока движется по круговой траектории с центростремительным ускорением
а = V2/ R. (1)
Сила, действующую на кусочек яблока со стороны барабана, равна
F= mV2/ R.
С силой F кусок яблока прижимается к барабану. Поэтому искомая сила равна
F= mV2/ R = F= mw2 R, (2)
где V = w R –линейная скорость кусочка яблока;
w = 2π n - угловая скорость
Проверим размерность подставляя:
кг· с-2 · м
[F] = [¾¾¾¾¾] = кг· м·с-2 = Н
Проведем вычисления:
Сила F = mw2 R= 5 ·10-3 ·(2 ·3,14)2 ·(120)2×0,12=5·10-3 ·4·9,86·1,44·104 ×0,12=2,84·103 Н
Линейная скорость кусочка яблока:
V = w R = 2π n R =2·3,14 ·120 · 0,12 =30.432 ≈ 30.4 м/с
Мощность соковыжималки можно оценить, вычислив кинетическую энергию вращающегося барабана вместе с содержимым и разделив её на время раскручивания.
Кинетическая энергия вращения равна:
Екин = (I + I1) w2 /2
где I = m2 R 2 – момент инерции яблочной массы;
I1 = m1 R 2 / 2 + m1 R 2 момент инерции полуцилиндра, состоящего из диска и кольца.
I = 0,3· (0,25)2 = 0.0185 =1.875·10-2 кг·м2 ≈ 1.88·10-2 кг·м2
I1 =(0.05 +0.1) · (0,25)2 = 0.93675·10-2 кг·м2≈ 0.937·10-2 кг·м2
Екин= (1.88 + 0.937) ·10-2 ·(2π 120)2 / 2 = 2.82 ·10-2 · 2· (3,14)2 1.44· 104 ≈ 8.01·103 Дж.
Мощность соковыжималки:
Р = Екин / t =8.01·103 / 8 ≈ 103 Вт
Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.
Ответ: сила, прижимающая кусочек яблока к барабану F = 2,84·103 Н,
линейная скорость кусочка яблока:V ≈ 30.4 м/с; мощность соковыжималки Р ≈ 103 Вт.
Пример 3. Автомобиль тянет платформу с грузом, представляющим собой прямоугольную форму весом 250 кг. Коэффициент трения между платформой и грузом 0,05, вес платформы 820 кг. Сила с которой тянет автомобиль платформу изменяется по закону F=Аt, где А=4,25[кг×м/с3] – некоторая постоянная. Определить: 1) момент времени t0, когда платформа начнет выскальзывать из-под груза; 2) ускорения груза а1 и платформы а2 в процессе движения.
Решение.
m1=250 кг Описанный процесс схематично изображен на рис.1.
m2=820 кг Сила, с которой машина тянет платформу, можно выразить
f=0,05 формулой F=Fтр+m2a2 (1), где Fтр= m1a1 (2). Максимальное F=4,25t значение силы трения равно Fтр.max= f m1 g (3),
______________
Найти
t0=? где g=9,81 м/с2 - есть ускорение свободного падения.
а1=? Используя выражения (1), (2) и (3), определим ускорение а2 и,
а2=? подставим его в очевидное неравенство, а2 ³ а1, показывающее
Рис. 1.
предельное значение ускорения, при котором груз уже скользит по платформе.
а2 = ; а1=fg; тогда .
Во время t=t0 , из чего выразим t0= .
Во время t£t0 а1=а2=
Во время t£t0 а1=fg=const, а2= .
Так как исходные данные приведены в системе единиц СИ, то подставим в полученные выражения числовые значения и рассчитаем требуемые неизвестные.
t0=
а1=9,81×0,05=0,49 м/с2.
а2= .
Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.
Ответ: 1) время, после начала движения при котором платформа начнет выскальзывать из под груза больше t0= 123,49 с; 2) ускорение груза достигнет а1= 0,49 м/с2; 3) платформа должна двигаться с ускорением больше, чем а2= 0,49 м/с2.
Пример 4. С башни, высотой 20 м, горизонтально со скоростью 10 м/с из пращи брошен камень массой 400 г. Пренебрегая сопротивлением воздуха определить для момента времени 1с после начала движения кинетическую и потенциальную энергии.
Решение.
H= 20 м Запишем формулы для расчета кинетической и потенциа-
u0= 10 м/с льной энергий:
m= 400 г = 0,4 кг Т = ; П = m×g×h.
t= 1 с
______________
Найти: В формулах не все данные известны. Необходимо найти
Т =?; П =?. общую скорость движения камня через 1 с и высоту на
которой камень будет находиться через это время. Скорость движения при снижении камня по вертикали определяется выражением uy = g×t, а полная скорость движения u2 = u02 + uy2, где u0 = const – постоянная скорость движения камня по горизонтали, uy – скорость равнопеременного движения камня по вертикали. Подставив полученные формулы в выражение для кинетической энергии, окончательно получим:
Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2.
За время t камень опустится на высоту h1 = , тогда потенциальная энергия камня будет равна
П = m×g×(H - ).
Проведем вычисления: Т = m ×(u02+g2 × t2) / 2 = 0,4×(102 + 9,812×12) / 2 = 39,2 Дж;
П = m×g×(H - ) = 0,4×9,81× (20 – 9,81×12/2) = 59,2 Дж.
Ответ: 1) кинетическая энергия камня через секунду после начала движения равна Т = 39,2 Дж; 2) потенциальная энергия равна П = 59,2 Дж.
Размерность полученных результатов проверяем аналогичным способом, описанным в примерах 1 и 2.
Пример 5. В цилиндре под поршнем находится водород массой 20 г, при температуре 250С. Водород сначала расширился адиабатически, увеличив свой объем в 5 раз, а затем был сжат изотермически, причем объем газа уменьшился в 5 раз. Найти температуру в конце адиабатического процесса расширения и работу, совершенную газом. Изобразить процесс графически.
Решение. СИ
М = 20г 0.02 кг
T1 = 250C Т1 = 298 К
V1а/ V2а = 5
V2и/ V1и = 1/5
R = 8,31 Дж/моль∙град
µ=2 ∙10-3 кг/моль
i = 5
γ = 1,4
________________________________
Определить: Т2=?; А1=?; А2=?.
Отношение температур и объемов газа, совершающего адиабатический процесс, описываются равенством:
,
где γ – отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме. Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:
.
Подставляя численные значения, получаем:
Т2 = 298∙(1/5)1,4-1 = 298∙0.525 = 156,5 К.
Работа газа при адиабатическом расширении определим по формуле:
Подставляя цифровые значения в полученное выражение, получаем:
.
Работа газа при изотермическом процессе может быть выражена формулой:
.
Подставляя известные числовые значения, величин входящих в формулу, и выполняя арифметические операции, находим работу при изотермическом процессе:
.
Знак «минус» показывает, что при сжатии газа работа совершается над газом внешними силами.
График описанного процесса представлен на рис.1.
Рис. 1.
Ответ: Температура в конце адиабатического процесса расширения Т2 = 156,5 К.
Работа, совершенная газом для точек 2,3 равна А1=8,62∙104Дж, А2=-2,08∙104Дж.
Пример 6. Определить плотность смеси газов (60 % пропана - С3Н8,30%, бутана - С4 Н10 и 10% метана - CH4) находящихся в баллоне при температуре 27 0С и давлении 0.11МПа.
Решение. СИ
m1(С3Н8) = (3×12 +8×1) × 10-3 = 44×10-3кг/моль
m1/m= 0.6 - “ -
m2 (С4H10) = (4×12 + 10×1) ×10-3=56×10-3 кг/моль
m2/m =0.3 - “ -
m3 (СН4) = (12 + 4×1) ×10-3 = 16×10-3 кг/моль
m3/m = 0.1 - “ -
t = 270C Т = 300 К
P = 0.11 MПа 0.11× 106 Па
____________________________________
Определить: r =?
По закону Дальтона давление смеси газов P равно сумме парциальных давлений газов, составляющих смесь P1(C3 H8), P2(C4 H10),P3 (CH4):
P = P1 + P2 + P3 (1)
Для каждого газа справедливо уравнение состояния (Клапейрона -Менделеева):
Pi V = (mi /mi)RT (2)
Из выражения (2) можно выразить парциальное давление:
Pi = (mi /mi)RT/V (3)
Уравнение Клапейрона - Менделеева справедливо и для смеси газов:
P V = (m /m)RT (4)
Плотность газа равна:
r = m/V = Pm/ RT (5)
Молярную массу смеси можно найти подставив (3) в (1):
P = (m1/m1)RT/V + (m2 /m2)RT/V + (m3 /m3)RT/V = (m/m) RT/V (6)
Из уравнения (6) молярная масса m равна:
m = (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)-1 (7)
Подставляя (7) в (5) получим выражение для плотности смеси:
r = P/ RT (m1/m1m + m2/m2m + m3/m3m)
Проверим размерность получившейся формулы:
[r]=[P] /[R][T] [m-1]=Па/ (Дж моль-1К-1) К (кг/моль)-1=Па/Дж кг-1=Нм-2 кг/Нм= кг/м3
r = 0.11×106 /8.31 300 (0.6/44×10-3 + 0.3/ 56×10-3 + 0.11/6×10-3) = (0.11× 39.6 /8.31×3×) × 106-2-3 = 0.175×10 =1.75 кг/м3
Ответ: плотность смеси газов r = 1.75 кг/м3.