Расчет двухшарнирной арки с предварительно напряженной затяжкой

Исходные данные

Необходимо рассчитать железобетонную арку покрытия одноэтажного промышленного здания с сеткой колонн 30´12м. Криволинейная часть арки собирается из блоков, соединенных посредством сварки выпусков стержневой рабочей арматуры с последующим замонолчиванием швов.

 

Характеристика бетона и арматуры.

Арка изготовляется из бетона класса В-45:

- нормативная призменная прочность R_bn= R_b,ser= 326кгс/см²;

- расчетная призменная прочность R_b= 255 кгс/см²;

- нормативное сопротивление при растяжении R_bth= R_bt,ser= 22,4 кгс/см²;

- начальный модуль упругости бетона Е_b=286´10³ кгс/см²;

- коэффициент условий работы g_b2 = 0,9;

Арматура продольных ребер класса А-III:

- нормативное сопротивление растяжению R_sn= 4000 кгс/см²;

- расчетное сопротивление R_s= 3750 кгс/см²;

- модуль упругости арматуры Е_s = 200´10⁴ кгс/см²;

Напрягаемая арматура затяжки – из арматурных канатов класса Вр-II диаметром 8мм (натяжение производится на упоры):

- нормативное сопротивление растяжению R_sn= 10400 кгс/см²;

- расчетное сопротивление R_s= 8700 кгс/см²;

- модуль упругости арматуры Е_s = 200´10⁴ кгс/см²;

Поперечная и конструктивная арматура класса А-I.

 

Определение основных геометрических размеров арки.

Номинальный пролет арки – L=30м

Расчетный пролет l_o= 30-0,4=29,6 м.

Стрела подъема арки: f=l_о/9= 29,6/9 = 3,5м.

Радиус кривизны арки кругового очертания определяем из формулы:

м.

Половину центрального угла дуги арки определяем из выражения:

;

q=26,53^о = 0,448 рад;

cos q = 0,894;

Длина дуги арки:

м.

За поперечное сечение криволинейной части арки принимаем двутавровое высотой h=0,6м и шириной полок b_f =b_f^/ =0,5h=0,5´60 = 30см, шириной стенки b=0,08м.

 

Площадь поперечного сечения арки:

А = 0,3´0,6-(0,3-0,08)´(0,44 +0,32)/2 = 0,0964м²;

Момент инерции сечения арки:

J = 0,3´0,6³/12 –0,22´0,38³/12 = 0,0044м⁴.

Сечение затяжки предварительно назначаем 30´30см.

Площадь сечения затяжки: А_з = 0,3´0,3 = 0,09м².

Высоту опорного блока принимаем 1,2м и определяем основные размеры опорных узлов:

где: R₁ =R +0,5h=33 +0,5´0,6=33,3м;

f₁ =f+ 0,5h- 0,5h_з –0,95=3,5 + 0,5´0,6-0,5´0,3-0,95 = 2,7м.

Получаем b=23,14^о;

Sin b=0,395;

tg b=0,429;

Ширина опорной площадки: d_о = 0,95/ сos b = 1,04м; d₁ =0,8м; d₂ = 0,4м.

d₃ = d₂ / sin b=0,4/0,395 = 1,01м;

d₄ = R₁sin b=13,15м;

d₅ =l –l₁ =11,975-10,15=1,85м;

l_оп =d₅ +d₄=1,85 +0,4=2,25м.

 

Определение нагрузок

Арка покрытия рассчитывается на следующие виды нагрузок:

- постоянную;

- временную снеговую;

Определение нагрузок на 1м² покрытия приведено в табл. 8.

Собственный вес арки: G_а^н =gV_ар = 2,5´8,45 = 21,13 тс = 21130 кгс;

где: g=2,5т/м³ – объемная масса железобетона;

V_ар=8,45м³ = объем бетона арки с затяжкой и опорными блоками;

Нагрузки на 1м² покрытия таблица 8

Наименование нагрузки	Нормативная нагрузка, кгс/м2	gf	Расчетная нагрузка, кгс/м2
Постоянная:
- ребристая плита покрытия		1,1	225,5
- пароизоляция (пергамин)	5,0	1,1	6,5
- утеплитель (пенобетонные плиты), d= 120мм, r= 500 кг/м3.		1,2
- цементная стяжка		1,3
- трехслойный рулонный ковер		1,2
ИТОГО:
Временная: снеговая		1,4
ВСЕГО:

Нагрузки, приходящиеся на 1пог.м. горизонтальной проекции арки (при шаге арок 12м.):

Постоянная нагрузка:

- нормативная g^н = 325´12 +21130/29,6 =4614 кгс/м;

- расчетная g^р = 374´12 +1,1´21130/29,6 = 5274 кгс/м;

 

Временная нагрузка

- нормативная р^н =150´12=1800 кгс/м;

- расчетная р^р = 210´12=2520 кгс/м.

 

Расчет затяжки

Определение площади напрягаемой арматуры.

Площадь сечения арматуры затяжки определяем по приближенному значению распора от полной расчетной нагрузки по всему пролету, найденному при коэффициенте податливости к=1,0.

кгс´м;

Требуемая площадь сечения арматуры класса Вр-II:

см²;

Принимаем 60Æ8 Вр-II А_sp=30,02 см².

Определение геометрических характеристик.

- коэффициент привидения:a=E_s/E_b=200´10⁴/286´10³=7;

- приведенная площадь затяжки: A_red=A_b+A_sp(a-1)=30´30+30,02(7-1)=1080см²

- Статический момент приведенного сечения относительно нижней грани:

S_red =30´30²/2 + 30,02´9 = 13770см³;

- расстояние от центра тяжести приведенного сечения до нижней грани:

y=S_red/A_red=13770/1080=13см;

- расстояние от центра тяжести приведенного сечения до верхней грани:

y^/=30-13 =17см;

- Момент инерции приведенного сечения относительно центра тяжести сечения: J_red=30´30³/12+30,02´11²=71132,4см⁴.

Уточненное значение коэффициента податливости:

;

.

Величина распора:

см².

Определение потерь предварительного напряжения

Величину предварительного напряжения в арматуре принимаем:

s_spⁿ=0,8R_sn=0,8´10400=8320кгс/см²;

Допустимое отклонение величины предварительного напряжения:

Р=0,05s_spⁿ=0,05´8320=416 кгс/см².

Проверяем выполнение условий:

s_spⁿ + р £ R_sn

s_spⁿ - р ³0,3R_sn

 

8320+416=8736 кгс/см²<10400кгс/см²;

8320-416=7904 кгс/см²>0,3´10400=3120кгс/см².

 

Расчет ведем согласно табл. 5[3]:

s_los= s_los1+ s_los2, где: s_los1- первые потери;

s_los2- вторые потери;

s_los1 =s₁+ s₂ +s₃ +s₄ +s₅ +s₆;

где: s₁- потери от релаксации напряжения в арматуре; при механическом способе натяжения стержневой арматуры на упоры:

кгс/см²;

s₂-потери от температурного перепада (при Dt=65^оС):

s₂=1,25Dt=1,25´65=81МПа=829кгс/см²;

s₃ – потери от деформации анкеров; при натяжении арматуры на упоры:

s₃ =DlE_s/l =0,1475´200´10⁴/3100=95 кгс/см²,

Dl=1,25 +0,15´1,5=1,475 мм=0,1475 см.

s₄ – потери от трения арматуры; при механическом способе натяжения арматуры на упоры в расчете не учитываются;

s₅ – потери от деформации стальной формы при изготовлении предварительно напряженных железобетонных конструкций; при механическом способе натяжения арматуры на упоры в расчете не учитываются;

s ₆ – потери от быстронатекающей ползучести бетона;

s₆ = 400´0,85´ s_bp /R_bp, при s_bp /R_bp£ a

s₆ = 0,85[400a+850b(s_bp /R_bp-a)], при s_bp /R_bp> a,

где: R_bp – передаточная прочность бетона; устанавливаем из условия

R_bp = 0,7 R_b = 0,7´255 = 178,5кгс/см²;

a =0,25 + 0,0025R_bp £ 0,8 a =0,25 + 0,0025´178,5=0,7<0,8;

1,1£ b= 5,25 – 0,0185R_bp ³ 2,5 b =5,25 – 0,0185´178,5= 1,9<2,5, следовательно, принимаем b =2,5.

Усилие обжатия:

Р₁ = (s_sp -s₁-s₂-s₃)A_sp = (8320-632-829-95)30,02=203055 кгс.

Напряжение в бетоне при обжатии от Р₁:

кгс/см²;

s_bp /R_bp=188/178,5=1,05 <a =0,7

s₆ = 0,85[400*0,7+850*2,5(1,05-0,7)]=870 кгс/см²;

s_los1 =s₁+ s₂ +s₃ +s₆=632 +829 +95 +870=2426 кгс/см².

Усилие обжатия с учетом первых потерь:

Р₂ = (s_sp -s_los1)A_sp=(8320-2426)30,02=176938 кгс/см².

s_los2 =s₇+ s₈ +s₉ +s₁₀ +s₁₁;

где: s₇- потери от релаксации напряжения в арматуре; при механическом способе натяжения стержневой арматуры на упоры для всех сечений

s₇=s₁= -;

s₈ – потери от усадки бетона:

для бетона класса В45 s₈ =450 кгс/см²;

s₉ – потери от ползучести бетона:

s ₉ = 1500 as_bp /R_bp,при s_bp /R_bp£ 0,75

s ₉ = 3000a(s_bp /R_bp-0,375), при s_bp /R_bp >0,75

a = 0,85- для бетона подвергнутого тепловой обработке;

Напряжение в бетоне при обжатии от Р₂:

кгс/см²;

s_bp /R_bp=164/178,5=0,92>0,75

s ₉ = 3000*0,85(0,92-0,375)=1390 кгс/см².

s₁₀ – потери от смятия бетона под витками спиральной или кольцевой арматуры, при натяжении арматуры на упоры принимается равным нулю;

s₁₁ – потери от деформации обжатия стыков между блоками; при натяжении арматуры на упоры принимается равным нулю;

s_los2 =s₇+ s₈ +s₉ =450 +1390=1840 кгс/см²;

s_{los =}s_los1+s_los2 = 2426 +1840=4266 кгс/см²;

Усилие обжатия с учетом всех потерь:

Р = (s_sp -s_los)A_sp=(8320-4266)30,02=121701 кгс.

Сечение затяжки проверяем на образование трещин в стадии эксплуатации по формуле:

кгс;

Нормативное значение распора от снеговой нагрузки:

кгс,

следовательно, трещины в сечении затяжки не образуются.

 

Расчет подвески

Подвески устраиваем через 6м по длине затяжки.

Наибольшая длина подвески: l = f = 3,5м;

Продольная растягивающая сила равна весу подвески и участка затяжки длиной 3,5 м:

N=gg(6A_b +3A_b1)=1,1´17,5(6´0,3² +3´0,1²)=1097 кгс;

Требуемое сечение арматуры: A_s =N/R_s =1097/3750=0,293 см²;

Принимаем 1Æ10 А-III, A_s =0,785см².

Ширину раскрытия трещин проверяем по формуле:

,

где: d - коэффициент, принимаемый d=1,2;

m - коэффициент армирования сечения, m=A_s/bh_o=0,785/(10´6) = 0,008;

j_l - коэффициент, принимаемый:

- при продолжительном действии нагрузок j_l = 1,6-15m = 1,6 –15´0,008=1,48;

h - коэффициент, принимаемый при канатной арматуре h = 1,2;

s_s – приращение напряжений от действия внешней нагрузки, определяемое для изгибаемых элементов по формуле:

s_s=N/A_s=1097/0,785=1397 кгс/см²;

, то есть условие выполняется.

 

Определение усилий в арке.

Изгибающие моменты, продольные и поперечные силы определяем для 11 точек арки с интервалом b=0,1l_o=2,96м.

Ординаты намеченных точек определяем по формуле:

Геометрические данные для этих сечений приведены в табл. 9

таблица 9

точки	х=0,1lo,м		ji	cosj	cosj-cosq	y, м
	0,0	0,448	26,6	0,894	0,0	0,0
	2,96	0,359	21,04	0,933	0,039	1,287
	5,92	0,269	15,6	0,963	0,069	2,277
	8,88	0,179	10,32	0,984	0,09	2,97
	11,84	0,09	5,2	0,996	0,102	3,366
	14,8	0,0	0,0	1,0	0,106	3,5

Для каждой схемы загружения определяем внутренние усилия по формулам:

;

;

;

для точки 1:

а). 1 схема загружения

кгс;

кгс´м;

кгс;

кгс´м;

кгс;

кгс.

б). 2 схема загружения

При второй схеме загружения для определения усилий в сечениях, возникающих от действия снеговой нагрузки, достаточно усилия при первой схеме загружения умножить на поправочный коэффициент p/g=2520/5274=0,478.

M_x= - 1695´0,478= - 810 кгс´м;

N_x=202412´0,478=96753 кгс;

Q_x=72610´0,478=34708 кгс.

 

в). 3 схема загружения

кгс;

кгс´м;

кгс;

кгс´м;

кгс;

кгс.

Суммарные усилия при действии постоянной и временной нагрузок:

- первая комбинация нагрузок: (1+2);

- вторая комбинация нагрузок: (1+3);

Аналогично вычисляем значения усилий в других точках. Результаты расчетов сводим в таблицу.

 

№ загр.	точки
1 схема загружения	H
Mx0
Qx0
Mx		-1695	-1221
Qx
Nx
2 схема загруж.	Mx		-810	-584
Qx
Nx
3 схема загружения	H
Mx0
Qx0
Mx
Qx			-1027	-3416	-3184
Nx
(1+2)	Mx		-2505	-1805
Qx
Nx
(1+3)	Mx
Qx
Nx

Расчет верхнего пояса арки.

Расчет ведем на 2 комбинации усилий:

1. сечение в точке 5 (комбинация усилий 1+2):

M=11097 кгс´м;

N=240746 кгс.

Усилия от длительно действующей нагрузки:

M_l=7508 кгс´м;

N_l=162886 кгс;

2. сечение в точке 2 (комбинация нагрузок 1+3):

M=24886 кгс´м;

N=244032 кгс;

Усилия от длительно действующей нагрузки:

M_l=1221 кгс´м;

N_l=190454 кгс;

1 комбинация:

- расчетная длина: l_о =0,54S=0,54´29,6=16 м;

- радиус инерции сечения в плоскости арки:

м;

- гибкость: l=16/0,213=75>14, следовательно, необходимо учесть влияние прогиба элемента на его прочность;

- эксцентриситет силы: e =М/N= 1109700/240746=4,6 см;

Условная критическая сила:

,

здесь: j_l =1+b(М_1L/М₁)- коэффициент, учитывающий влияние длительного действия на прогиб элемента в предельном состоянии,

b=1,0 – для тяжелого бетона;

М_1L=7508 +162886(0,56-0,04)=92209 кгс´м;

М₁=11097 +240746(0,56-0,04)=136285 кгс´м;

j_l =1 +1´92209/136285=1,7;

Е_b = 286´10³ см⁴ – начальный модуль упругости бетона;

I_s – момент инерции сечения арматуры, вычисляемый относительно центра тяжести бетонного сечения;

= 0,004´30´56(0,5´30-4)²=813 см ⁴ , здесь коэффициент армирования в первом приближении принимаем m= 0,004;

a=E_s /E_b= 200´10⁴/286´10³ = 7- коэффициент привидения;

d_е= е_о/h= 4,6/60=0,08, но не менее d_е,min=0,5- 0,01(l_o/h)- 0,01R_bg_b2=

= 0,5-0,01´16/0,6- 0,01´25,5´1,1= 0;

 

кгс.

Значение коэффициента h, учитывающего влияние прогиба на значение эксцентриситета продольного усилия е_о, следует определять по формуле:

.

Тогда эксцентриситет е_о= е_оh+0,5(h-а^/)=4,6´7,77 +0,5(60-4)= 63,75 см.

При симметричном армировании А_s= A_s^/.

см, т.е. нейтральная ось проходит за пределами полки, тогда:

см.

Поэтому, поперечное сечение арки полностью сжато. В этом случае допускается учитывать свесы полки, расположенной у менее сжатой грани сечения.

Тогда: см²;

2 комбинация:

- расчетная длина: l_о =0,54S=0,54´29,6=16м;

- радиус инерции сечения в плоскости арки:

м;

- гибкость: l=16/0,213=75>14, следовательно, необходимо учесть влияние прогиба элемента на его прочность;

- эксцентриситет силы: e =М/N= 2488600/244032=10,2 см;

Условная критическая сила:

,

здесь: j_l =1+b(М_1L/М₁)- коэффициент, учитывающий влияние длительного действия на прогиб элемента в предельном состоянии,

b=1,0 – для тяжелого бетона;

М_1L=1221 +190454(0,56-0,04)=100257 кгс´м;

М₁=24886 +244032(0,56-0,04)=151783 кгс´м;

j_l =1+1´100257/151783=1,66;

Е_b = 286´10³ см⁴ – начальный модуль упругости бетона;

I_s – момент инерции сечения арматуры, вычисляемый относительно центра тяжести бетонного сечения;

= 0,004´30´56(0,5´30-4)²=813 см ⁴ , здесь коэффициент армирования в первом приближении принимаем m= 0,004;

a=E_s /E_b= 200´10⁴/286´10³ = 7- коэффициент привидения;

d_е= е_о/h= 10,2/60=0,17, но не менее d_е,min=0,5- 0,01(l_o/h)- 0,01R_bg_b2=

= 0,5-0,1´16/0,6- 0,01´25,5´1,1= 0;

 

кгс;

Значение коэффициента h, учитывающего влияние прогиба на значение эксцентриситета продольного усилия е_о, следует определять по формуле:

;

Тогда эксцентриситет е_о= е_оh+0,5(h-а^/)=10,2´21,08 +0,5(60-4)= 43 см;

При симметричном армировании А_s= A_s^/.

см, т.е. нейтральная ось проходит за пределами полки, тогда:

см;

Поэтому, поперечное сечение арки полностью сжато. В этом случае допускается учитывать свесы полки, расположенной у менее сжатой грани сечения.

Тогда: см²;

Принимаем 6Æ32 A-III, A_s=A_s^/=48,25см².