Напомним, что нам уже известны некоторые перемещения. Перемещениями прямой 
являются тождественное преобразование I, перенос 
на вектор v и отражение 
относительно точки О.
Для случая плоскости 
перемещениями будут уже упомянутые I и , а также поворот 
вокруг точки О на угол j и отражение 
относительно прямой l. Определим дополнительно скользящее отражение 
как комбинацию отражения относительно прямой l с переносом на вектор v ½½l.
Наконец, для пространства 
мы имеем перемещения I и , а, кроме того поворот 
вокруг оси, заданной точкой О и единичным направляющим вектором w на угол j и отражение 
относительно плоскости p. Определим дополнительно зеркальный поворот 
как комбинацию отражения относительно плоскости, заданной точкой О и вектором нормали n с поворотом 
и скользящее отражение 
- композицию отражения. относительно плоскости p и переноса на вектор v ½½p. Наконец, определим винтовое перемещение 
как комбинацию поворота 
и параллельного переноса на вектор h w.
Отметим, что некоторые из указанных выше перемещений являются частными случаями других. Например, тождественное перемещение можно рассматривать как перенос на нулевой вектор (или как поворот на нулевой угол), отражение является частным случаем скользящего отражения при v = 0 и т. д.
Теорема 3.
Каждое перемещение f в 
(n = 1, 2, 3) суть одно из следующих:
1. n = 1 ,
2. n = 2 , ,
3. n = 3 , , .
Доказательство.
Как уже отмечалось, можно выбрать такой ортонормированный базис, что перемещение f имеет вид R = АR + v, где v - некоторый вектор. Если изменить начало координат: R = r + u, R = r + u, получаем: r= Ar + v, где v = A u - u + v = (A - E) u + v. Мы видим, что если число 1 не является собственным значением матрицы А (или, если угодно, оператора f*), то можно выбрать u так, что в новой системе координат v = 0. (Поскольку матрица A - E невырождена). Тем самым утверждение теоремы доказано при n=1 и при n=2 в случае det(A) = 1 (так как собственные значения 
суть exp(
ij)¹ 1 при j¹2pn).
В случае матрицы 
можно добиться, чтобы v = 
, что приводит к скользящему отражению . Для матрицы 
при j¹2pn получаем v = 
, и мы приходим к винтовому перемещению . (При j=2pn мы приходим к переносу). Наконец, для 
при j¹2pn можно считать v = 0, что приводит к зеркальному повороту , а при j=2pn - v = 
и получается скользящее отражение .
Замечание. (о параметрах перемещений)
Параметр 
для поворота плоскости будем считать изменяющимся mod 2p т. е. 
= . Такое же соглашение будем использовать и для винтового перемещения при h > 0. Если же h = 0, и речь идет о повороте в пространстве, надо учитывать, что 
= 
. В частности, 
= 
(отражение относительно прямой параллельной v и проходящей через О). Аналогично, 
= . Если при этом j=p это преобразование не зависит от вектора n и является отражением относительно точки О.
4* Композиции 1.
Теорема 4
Если f и g два перемещения X, а f*, g* - соответствующие операторы в V, то (f·g)* = f*g*(Символом · обозначена композиция перемещений).
Доказательство.
Используем координатную форму записи: f(R) = AR + v, g(R) = BR + w. Тогда: (f·g)(R) = f((g(R)) = f(BR + w) = A(BR + w) + v = (AB)R + (A w + v). Следовательно, (f·g)* = AB = f*g*.
Следствие.
Композиция двух перемещений с определителями одного знака имеет определитель (+1); если знаки определителей противоположны, композиция имеет определитель (-1).
Вычисление композиции перемещений пространства не вызывает затруднений. Отметим только, что 
· 
= ,где v =2 AB.
Для случая пространства удобно использовать комплексные числа. Отождествляя их с точками плоскости, получаем удобный способ записи перемещений. Например, поворот можно записать в виде: z ® 
z + c. Точка О является неподвижной и соответствующее комплексное число 
находится из уравнения = + с, откуда = с/(1- 
). Таким образом, 
Отметим, что 
= 
при j+y¹0 (mod 2p). В то же время при j+y = 0 указанная композиция будет переносом на вектор AD, где D = 
.
Преобразование z® 
+c является скользящим отражением относительно прямой Im(
= 0 на вектор 0,5 (с + 
). Если прямая l проходит через точку 
и ее направляющий вектор (рассматриваемый как комплексное число) имеет аргумент 
, то перемещение можно записать в виде 
Композиция двух скользящих отражений относительно пересекающихся прямых будет поворотом. В то же время, если прямые параллельны, композиция - перенос.