Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка

Теорема о вронскиане системы линейно независимых частных решений ЛОДУ

Пусть – линейно независимые на – частные решения ЛОДУ n-го порядка . Тогда

Док-во: (от противного)

Пусть . Рассмотрим СЛАУ относительно :

Ее определитель , следовательно, система имеет ненулевое решение, т.е. , не все равные , такие, что выполняется система (2.7.3).

Рассмотрим частное решение ЛОДУ .

Оно удовлетворяет в т. начальным условиям (в силу (2.7.3)):

Рассмотрим частное решение ЛОДУ

Оно удовлетворяет в т. начальным условиям

Таким образом, частные решения ЛОДУ и удовлетворяют одним и тем же начальным условиям задачи Коши. По теореме о единственности решения задачи Коши , т.е. , т.е. – линейно зависимы на – противоречит условию линейной независимости .

Т.е.

Замечание. Пусть – частные решения ЛОДУ . График функции может иметь вид (см. рис. 37, 38):

Рис. 37	Рис. 38
(для линейно независимых решений)	(для линейно зависимых решений)

Не может иметь вид (см. рис. 39, 40):

Рис. 39

Рис. 40

Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ n-го порядка. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

Теорема о размерности пространства решений ЛОДУ n-го порядка

Размерность пространства решений ЛОДУ n-го порядка равна n.

Док-во: нужно доказать, что существует базис пространства решений, состоящий из частных решений, т.е. частные решения , которые удовлетворяют следующим условиям:

1. Они линейно независимы на

2. Любое частное решение имеет вид

1. рассмотрим частные решения ЛОДУ , удовлетворяющие начальным условиям:

– фиксированная точка интервала .

По теореме существования и единственности решения задачи Коши определены на всем интервале .

Т.к. , то функции – линейно независимы на , т.к. иначе должен был бы равняться нулю.

2. Рассмотрим произвольное частное решение .

Оно удовлетворяет некоторым начальным условиям:

Рассмотрим частное решение . Оно удовлетворяет начальным условиям:

Т.е. и удовлетворяют одинаковым начальным условиям в точке . По теореме о единственности решения

Опр. Система n линейно независимых частных решений ЛОДУ n -го порядка называется фундаментальной системой решений (ФСР) ЛОДУ.

ФСР – базис линейного пространства решений.

Теорема о структуре общего решения ЛОДУ n-го порядка

Пусть – ФСР. Тогда общее решение имеет вид:

– произвольные постоянные.

Док-во: нужно доказать, что для такие, что частное решение удовлетворяет начальным условиям:

Решение , удовлетворяющее данным начальным условиям, существует и определено на всем . линейному пространству решений и разлагается по базису линейного пространства: