Доверительное прогнозирование

Лабораторная работа 7.

Множественная линейная регрессия: прогнозирование.

Одна из важнейших задач эконометрического моделирования – прогнозирование, т.е. оценка значения эндогенного показателя при заданных значениях экзогенных переменных. Различают прогноз среднего значения, т.е. , где - значения экзогенных переменных, и прогноз индивидуального значения, т.е. , где ε₀ – случайная величина.

Задание 1. Построить точечный прогноз стоимости квартиры, если общая площадь totsp =55.

Указание. Точечный прогноз получается простой подстановкой значений экзогенных переменных в уравнение линейной регрессии, т.е. если значения экзогенных переменных равны , то прогнозное значения эндогенного показателя равно .

Для построения прогноза будем использовать модель парной линейной регрессии с переменной totsp. Уравнение модели имеет вид (см. лабораторную работу 3). Подставляя в это уравнение значение totsp = 55, получим . Следовательно, и Y ₀ » 47,3

Доверительное прогнозирование

Доверительный (интервальный) прогноз представляет собой промежуток, который накрывает прогнозируемое значение с заданной доверительной вероятностью (уровнем надежности).

Задание 2. Построить доверительный прогноз средней стоимости квартиры, если totsp =55.

Указание. Для построения прогноза будем использовать модель парной линейной регрессии с переменной totsp.

Шаг 1. Построить матрицу наблюдений X следующего вида:

, где - наблюдаемые значения показателя и т.д.

Для рассматриваемой модели, это матрица размерности 20 на 2 (в первом столбце 1, во втором – наблюдаемые значения totsp).

Шаг 2. Вычислить матрицу коэффициентов системы нормальных уравнений X^TX, где - это транспонированная матрица X. Размер матрицы, полученной умножением двух матриц, определяется количеством строк первой матрицы и количеством столбцов во второй матрице X. В нашем случае, матрица X^TX имеет размер 2x2. Транспонированную матрицу можно найти с помощью функции из категории Ссылки и массивы:

ТРАНСП(массив), где массив — диапазон ячеек, который нужно транспонировать.

Для вычисления произведения матриц используйте следующий оператор из категории Математические: МУМНОЖ(массив1; массив2), где

· массив1 — первый из перемножаемых массивов значений,

· массив2 — второй из перемножаемых массивов значений.

В нашем случае массив1 – это транспонированная матрица. Таким образом, матрицу можно вычислить с помощью следующей функции:

МУМНОЖ(ТРАНСП(массив); массив),

· массив — массив значений, соответствующей матрице наблюдений.

Для получения требуемой матрицы необходимо ввести последнюю функцию как функцию массива. Результат вычисления приведен в таблице.

Шаг 3. Найти ковариационную матрицу B оценок наименьших квадратов коэффициентов уравнения b_m, …, b ₀, т.е. матрицу вида

.

Ковариационная матрица может быть найдена с помощью следующего равенства: , где - оценка остаточной дисперсии. Для нахождения матрицы , обратной к - нужно использовать функции из категории Математические:

МОБР(массив), где массив — массив, для которого нужно вычислить обратную матрицу

Функция МОБР() также является функцией массива. Обратная матрица имеет ту же размерность, что и исходная матрица, т.е. в нашем случае 2x2. Величину можно найти среди значений, полученных с помощью функции ЛИНЕЙН(…) или в отчете по регрессии (см.работы 3 и 4). Проверьте, что полученная матрица B совпадет с приведенной.

Шаг 4. Найти дисперсию прогноза среднего значения , где - вектор-столбец вида , составленный из заданных значений объясняющих переменных , - соответственно, вектор-строка (см. таблицу). Для вычисления дисперсии используйте функцию МУМНОЖ().

Шаг 5. Построить доверительный интервал вида , где t (кр)= t_α (df) - двусторонняя критическая точка распределения Стьюдента с числом степеней свободы равным
df = (n-m-1). Проверьте, что при уровне надежности 0,95 нижняя граница доверительного прогноза составит 44,9, а верхняя граница

Задание 3. Постройте доверительный прогноз для стоимости квартиры, если totsp =55.

Указание. Доверительный интервал для индивидуального значения эндогенного показателя имеет следующий вид:

,

где - дисперсия прогноза индивидуального значения. Проверьте, что можно гарантировать с уровнем надежности 0,95, что стоимость квартир общей площадью totsp =55 будет принимать значения от 39,8у.е. до 54,9у.е.