Векторная алгебра.
, где 
, 
, 
.
, 
. Тогда 
.
Орт вектора 
вектор 
единичной длины, совпадающий с 
по направлению, 
.
Скалярное произведение векторов 
и 
.
Обозначение: 
или 
.
Определение: 
, где 
угол между векторами.
Формула для вычисления в ортонормированном базисе: 
.
, 
Векторное произведение векторов и .
Обозначение: 
или 
.
Определение: есть вектор:
1) () 
и () 
;
2) 
, где угол между векторами;
3) 
образуют правую тройку, и () 
(
).
Формула для вычисления в ортонормированном базисе: 
.
Геометрический смысл: 
, где 
площадь параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, и, соответственно, 
.
Физическая интерпретация: 
, где
сила, приложенная в 
, 
момент силы относительно 
,
и, следовательно, 
моменты силы относительно осей 
, 
, 
.
Смешанное произведение векторов , , 
.
Обозначение: 
(без каких-либо промежуточных знаков).
Определение: 
.
Формула для вычисления в ортонормированном базисе: 
.
Геометрический смысл: 
, где 
объём параллелепипеда, построенного на
перемножаемых векторах, и, соответственно, 
.
Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.
компланарны (т.е. лежат в одной плоскости) 
Аналитическая геометрия.
Общий вид уравнения поверхности в пространстве: 
.
Общий вид уравнения линии в пространстве: 
или 
.
Общий вид уравнения линии на плоскости: 
или 
.
Если в уравнении геометрического объекта отсутствует координата 
(или 
, или 
),
то объект параллелен оси 
(или 
, или 
).
Прямая на плоскости.
Общий вид уравнения: 
, вектор 
прямой.
{уравнение оси } 
; {уравнение оси } 
.
Прямая, проходящая через точку 
перпендикулярно вектору 
:
.
Прямая, проходящая через точку параллельно вектору 
:
.
нормаль прямой, направляющий вектор.
Прямые 
и 
перпендикулярны, если 
, т.е. 
;
параллельны, если 
, т.е. 
;
совпадают, если 
.
Координаты точки пересечения прямых 
и 
решение системы уравнений
.
Угол между прямыми угол между их нормалями или их направляющими векторами.
или 
.
Плоскость в пространстве.
Общий вид уравнения: 
, вектор 
плоскости.
{уравнение плоскости 
} 
; { 
} ; { 
} .
Уравнение плоскости через точку 
перпендикулярно вектору 
:
.
Плоскости
и 
перпендикулярны, если , т.е. 
;
параллельны, если , т.е. 
;
совпадают, если 
.
Угол 
между плоскостями и 
угол между их нормалями.
Прямая в пространстве.
Общий вид уравнения: 
.
Вектор, параллельный прямой, т.е. направляющий вектор 
.
Уравнения координатных осей:
{ось } 
; {ось } 
; {ось } 
.
Прямая, проходящая через точку 
параллельно вектору 
:
(каноническое уравнение прямой)
или 
(параметрическое уравнение прямой).
Прямые 
и 
перпендикулярны, если 
, т.е. 
;
коллинеарны, если 
, т.е. 
;
скрещиваются, если вектора 
и 
не являются компланарными.
Угол между прямыми угол между их направляющими векторами 
и 
.
Прямая и плоскость в пространстве.
Плоскость 
: с нормальным вектором 
и прямая 
: 
с направляющим вектором
перпендикулярны, если 
;
параллельны, если 
и 
.
Прямая лежит в плоскости , если и 
.
Если 
угол между прямой и плоскостью , то 
есть угол между 
и 
,
и, следовательно, 
.
Координаты точки встречи прямой и плоскости решение системы уравнений
.
Если система не имеет решений, прямая параллельна плоскости.
Если решений бесконечно много, прямая лежит в плоскости.
Кривые второго порядка.
Канонические уравнения:
эллипс;
, 
гипербола;
, 
парабола.
Вырожденные варианты:
точка; 
мнимый эллипс (пустое множество);
пара прямых 
; 
.
Любое уравнение вида 
заменой положения координатных осей на плоскости (т.е. соответствующей заменой переменных) приводится к одному из канонических, представленных выше.
Если 
собственные числа матрицы 
, то
при 
будет получено уравнение эллипса,
при 
уравнение гиперболы,
при 
уравнение параболы.