Основные свойства линейных кодов

Способы задания линейных кодов

1. Перечислением кодовых слов, т.е. составлении списка всех кодовых слов кода.

Пример. В таблице 1 представлены все кодовые слова (5,3) - кода (a_i - информационные, а b_i - проверочные символы).

Таблица 1
№	a1	a2	a3	b1	b2

2. Системой проверочных уравнений, определяющих правила формирования проверочных символов по известным информационным:

где

j - номер проверочного символа;

i - номер информационного символа;

h_ij - коэффициенты, принимающие значения 0 или 1 в соответствии с правилами формирования конкретных групповых кодов.

Пример. Для кода (5,3) проверочные уравнения имеют вид:

b₁= a₂ + a₃;

b₂= a₁ + a₂.

3. Матричное, основанное на построении порождающей и проверочной матриц.

Векторное пространство Vn над GF(2) включает в себя 2ⁿ векторов (n-последовательностей), а подпространством его является множество из 2^k кодовых слов длины n, которое однозначно определяется его базисом, состоящим из k линейно независимых векторов. Поэтому линейный (n,k) - код полностью определяется набором из k кодовых слов, принадлежащих этому коду. Набор из k кодовых слов, соответствующих базису, обычно представляется в виде матрицы, которая называется порождающей.

Пример. (5,3) - код, который был представлен в таблице 1, может быть задан матрицей

Остальные кодовые слова получаются сложением строк матриц в различных сочетаниях.

Общее количество различных вариантов порождающих матрицу определяется выражением

Для исключения неоднозначности в записи G(n,k) вводят понятие о канонической или систематической форме матрицы, которая имеет вид

где

I_k - единичная матрица, содержащая информационные символы;

R_k,r - прямоугольная матрица, составленная из проверочных символов.

Пример. Порождающая матрица в систематическом виде для (5,3) - кода

Порождающая матрица G_(n,k) в систематическом виде может быть получена из любой другой матрицы посредством элементарных операций над строками (перестановкой двух произвольных строк, заменой произвольной строки на сумму ее самой и ряда других) и дальнейшей перестановкой столбцов.

Проверочная матрица в систематическом виде имеет вид

где I_r - единичная матрица; - прямоугольная матрица в транспонированном виде матрицы R_k,r из порождающей матрицы.

Пример. Проверочная матрица (5,3) - кода

Основные свойства линейных кодов

1. Произведение любого кодового слова на транспонированную проверочную матрицу дает нулевой вектор размерности (n-k)

Пример. для кода (5,3)

2. Произведение некоторого кодового слова , т.е. с ошибкой, на транспонированную проверочную матрицу называется синдромом и обозначается S_i(x)

3. Между порождающей и проверочной матрицами в систематическом виде существует однозначное соответствие, а именно:

4. Кодовое расстояние d₀ (n,k) - кода равно минимальному числу линейно зависимых столбцов проверочной матрицы

Пример.

для кода (5,3):

для кода (5,2):

5. Произведение информационного слова на порождающую матрицу дает кодовое слово кода

Пример. для кода (5,3)

6. Два кода называются эквивалентными, если их порождающие матрицы отличаются перестановкой координат, т.е. порождающие матрицы получаются одна за другой перестановкой столбцов и элементарных операций над строками.

7. Кодовое расстояние любого линейного (n,k) - кода удовлетворяет неравенству (граница Сингтона). Линейный (n,k) - код, удовлетворяющий равенству , называется кодом с максимальным расстоянием.