Домашнее задание
Решить следующие задачи:
1. Доказать, что число перестановок из п элементов без повторений при п > 1 всегда является чётным.
2. В турнире участвуют 6 человек. Сколькими способами могут распределиться места между ними?
3. Сколькими способами 10 различных подарков можно раздать десяти ребятам так, чтобы каждому досталось по одному подарку?
4. Сколько различных перестановок можно составить из букв слова «гипербола»?
5. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «перешеек» так, чтобы все 4 буквы е стояли рядом?
6. Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись? Найти сумму всех этих чисел.
7. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр числа 34567 так, чтобы цифры в записи этих чисел не повторялись? Сколько среди этих чисел чётных? Сколько чисел заканчиваются на 7? Сколько чисел не начинаются с 34?
8. Сколько различных четырёхзначных чисел можно образовать, переставляя цифры в числе 1023? Сколько из этих чисел делятся на 10? Сколько из этих чисел делятся на 3?
9. 30 книг – 27 книг различных авторов и трёхтомник одного автора – помещены на одной книжной полке. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы книги одного автора стояли рядом?
10. Сколькими различными способами 4 человека могут расположиться за круглым столом? А 5 человек? А п человек?
11. Сколько различных шестизначных чисел можно получить, переставляя цифры в числе 222555?
12. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «кукушка»? В скольких перестановках 2 буквы «у» записаны подряд?
13. Сколькими способами 5 одинаковых тетрадей можно распределить между тремя детьми?
14. Сколькими способами можно разделить 15 одинаковых яблок между четырьмя детьми?
15. В классе 30 учеников. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных?
16. Из 20 сотрудников лаборатории 3 человека должны ехать в командировку. Сколькими способами можно выбрать кандидатуры командируемых?
17. Из 12 членов секции тренеру нужно выбрать 5 человек на начало игры. Сколькими способами он может это сделать?
18. В соревнованиях принимают участие 12 спортивных пар. Сколькими способами может быть определена тройка призёров?
19. Сколько различных аккордов можно взять на 10 выбранных клавишах рояля, если каждый аккорд может содержать три звука?
20. Сколько диагоналей в выпуклом семиугольнике?
21. В комнате имеется 6 различных светильников. Сколькими различными способами можно осветить комнату?
22. Даны натуральные числа от 1 до 30. Сколькими способами можно выбрать три числа так, чтобы их сумма была чётной?
23. Из отряда солдат в 50 человек, среди которых есть рядовой Иванов, назначают в караул 4 человека. Сколькими различными способами может быть составлен караул? В скольких случаях в число караульных попадёт рядовой Иванов?
24. Из 20 сотрудников лаборатории 5 человек должны выехать в командировку. Сколько может быть различных составов отъезжающей группы, если заведующий лабораторией и два ведущих инженера одновременно уезжать не должны?
25. В фортепьянном кружке занимается 10 человек, в кружке художественного слова – 15 человек, в вокальном кружке – 12 и в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить концертную бригаду в составе 4 чтецов, 3 пианистов, 5 певцов и 1 фотографа?
26. Сколькими способами можно выбрать из слова «логарифм» две согласных и одну гласную букву?
27. У одного человека имеется 7 книг, а у другого – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги?
28. Из группы, состоящей из 4 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее двух женщин. Сколькими способами это можно сделать?
29. На собрании из 80 человек выбирают председателя, секретаря и трёх членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно сделать?
30. 30 человек разбиты на три группы, по 10 человек в каждой. Сколько может быть различных составов групп?
31. Сколькими способами можно распределить поровну 12 различных учебников между тремя студентами?
32. 10 молодых специалистов распределяются на два предприятия так, что на первое предприятие должны быть направлены 4 специалиста, а на второе – 6. Сколькими способами это можно сделать?
33. Сколькими способами можно расставить на 32 чёрных полях шахматной доски 12 белых и 12 чёрных шашек?
34. На фондовом рынке имеются в продаже акции 15 различных компаний. Сколькими способами можно осуществить покупку: а) 5 акций, б) 15 акций, в) 100 акций?
35. Для несения почётного караула в составе 10 человек приглашены офицеры пехотных войск, погранвойск, авиации, артиллерии, ракетных войск и морского флота. Сколькими способами можно выбрать состав почётного караула?
36. На студенческий вечер собрались юноши и девушки 8 факультетов. Для участия в конкурсе приглашаются 10 студентов. Сколькими способами можно выбрать студентов для участия в конкурсе? В скольких случаях среди участников конкурса будут студенты факультета начального образования?