Для многослойных структур характерна высокая прочность композита в плоскости слоев и, как правило, низкая прочность между слоями. Поэтому эти материалы имеют большое преимущество, когда напряжения в слоях значительно превышают межслоевые нормальные и касательные напряжение. В этом случае координаты 
, 
и 
являются неравноправными. Если координату направить по нормали к поверхности приведения и попытаться отделить эту координату, то можно свести трехмерные исходные уравнения к двумерным. Это можно сделать как формально математически, так и с помощью введения гипотез. Если в уравнения равновесия ввести безразмерные координаты 
, 
, 
, то согласно этим уравнениям межслоевые касательные напряжения 
и 
будут порядка 
от величины нормальных напряжений, а нормальные напряжения 
будут соизмеримы с величиной 
от величин 
и 
. Этот анализ показывает, что чем меньше относительная толщина пластина, тем меньше напряжения, действующие на площадках, нормальных к оси . В элементах, где все компоненты напряжения соизмеримы между собой, волокнистые композиты утрачивают свою эффективность как силовые конструкционные материалы.
Получим разрешающее уравнение изгиба многослойных композитных пластин с учетом поперечного сдвига из-за податливости связующего между слоями по толщине. Примем, что суммарное смещение (рис. 5.1,в) изгибаемых систем складывается из чистого изгиба (рис. 5.1,а), связанного с поворотом поперечного сечения, и чистого сдвига (рис. 5.1,б) без поворота нормального элемента. Для оценки влияния сдвига при изгибе не будем учитывать особенности структуры, а будем рассматривать пластину с симметричной укладкой по толщине слоев. При выводе разрешающих соотношений задачи обжатием по толщине пренебрежём.
|
|
Рис.5.1. Смещение сечения балки, вызванное изгибом (а), сдвигом (б),
изгибом со сдвигом (в)
Как было показано в четвертый главе, в случае выполнения условия отсутствия сдвига по толщине 
перемещения в плоскости определяются соотношениями 
. В случае учета сдвига эти перемещения определяются выражениями
. (5.1)
Имея в виду, что толщина пластинки сравнительно мала, представляется возможность осреднить деформации 
и 
по толщине, т. е. заменить истинные деформации 
и 
некоторыми осредненными по толщине деформациями сдвига
и 
. (5.2)
Тогда соотношения (5.1) с учетом (5.2) можно переписать в виде
. 
(5.3)
Интегрируя эти выражения, получаем
и 
,
где 
и 
.
Таким образом, видно (см. рис. 5.1), что при учете деформации сдвига для определения углов поворота сечения 
и 
из полного угла поворота 
или 
необходимо вычесть угол сдвига 
или 
, так как при сдвиге прогиб балки не сопровождается поворотом сечения.
К полученным ранее выражениям, используемым при выводе разрешающего уравнения изгиба пластин в соответствии с гипотезой Кирхгофа, добавим следующие соотношения:
; 
; 
; 
; 
.
Здесь 
кривизны; 
обобщенные жесткости, учитывающие жесткость при трансверсальном сдвиге. Определим эти жесткости. Для непрерывно меняющихся по толщине параметрах физические соотношения для сдвига запишутся в виде
, 
. (5.4)
Перерезывающие силы определяются интегрированием 
по толщине, т.е.
, 
.
Используя выражения (5.2) и исключая деформацию сдвига с помощью соотношений (5.4), записываем
|
|
, 
(5.5)
В подынтегральном выражении заменим на осредненные по толщине значение сдвиговых напряжений 
и 
. Тогда выражения (5.5) примут вид
, 
.
Переходя от непрерывности интеграла по к суммированию по слоям, получаем
, 
или
, 
.
Сравнивая эти соотношения с аналогичными в выражениях (5.4), получаем
, 
. (5.6)
Здесь при вычислении жесткостей отсчет слоев ведется от одной из поверхностей пластины, 
расстояние от поверхности до нижней границы 
-го слоя, поэтому 
толщина 
го слоя; 
и 
- модуль поперечного сдвига го слоя.
Используя уравнения равновесия изгиба пластин, физические и геометрические соотношения с учетом выражений (5.3), разрешающие уравнения получаем в виде
(5.7)
Здесь изгибаемые жесткости имеют традиционный вид. Если не учитывать деформацию поперечного сдвига, приняв 
и 
, то тогда 
, 
, и уравнение (5.7) принимает классический вид для ортотропной пластины в соответствии с гипотезой Кирхгоффа.
Рассмотрим решение задачи для случая шарнирного опирания пластины по краям. В этом случае искомые функции представляются в виде
; 
;
; 
,
где 
, 
.
После подстановки рядов в систему (5.7) и приравнивания коэффициентов при одинаковых комбинациях тригонометрических функций, получим следующую систему уравнений:
;
;
,
где 
; 
; 
;
; 
; 
;
; 
;
.
Тогда решение этой системы записывается в форме
; 
;
; 
. (5/8) (5.8)
Без учета сдвига, когда и , а коэффициенты равны 
и 
функция прогиба имеет вид
. (5.9)
или 
,
где 
.
Проиллюстрируем влияние межслойного сдвига на прогиб на примере многослойной композиционной пластины квадратной в плане со стороной 
м. Обшивка толщиной 
м образована на чередующихся слоях углепластика с углами армирования 
. Изгибаемая пластина обладает следующими жесткостями: 
кН∙м; 
кН∙м; 
кН∙м; 
кН∙м; 
кН/м. Поперечная нагрузка на поверхности пластины имеет вид 
кН∙м.
|
|
Максимальный прогиб пластины, вычисленный с учетом поперечного сдвига по формуле (5.8) равен 
м, а прогиб, вычисленный без учета поперечного сдвига равен 
м.
Учет поперечного сдвига существенен для трехслойных панелей, у которых жесткие несущие внешние слои разнесены с помощью легкого заполнителя. В этом случае для расчета можно использовать приведенные формулы. Например, для трехслойной шарнирно опертой балки, состоящей из несущих дюралюминиевых слоев толщиной 10-3 м и легкого заполнителя с модулем сдвига 
МПа, толщиной 
м и нагруженной давлением 
на длине 
м, отношение максимального прогиба, вычисленного с учетом сдвига, к прогибу, вычисленному без учета сдвига, 
. А отношение 
к прогибу 
, вычисленному по более сложной методике, основанной на гипотезе ломаной линии, равно 
, что при заданных параметрах балки можно считать вполне удовлетворительным.