Свободные (собственные) колебания




Изгибные колебания прямолинейных стержней.

Основные опущения:

Масса единицы длины переменная, зависит от z (как и жесткость).

Внешняя нагрузка только поперечная.

Будем определять координаты, колебания сечений.

Предполагаем, что колебания малые, т.е. (прогибы много меньше длины). Малые перемещения, малые углы поворота.

Есть перемещение и в продольном направлении . Но, если колебания малые, то - более высокого порядка малости чем , то есть .

Будем использовать гипотезу плоских сечений, пренебрегая сдвиговыми деформациями.

Есть инерции движения и в продольном, и в поперечном направлении, но инерция « » б.м. более высокого порядка малости, чем « ». В данной постановке задачи инерцией поворота пренебрегаем (для длинных стержней). Инерция только в вертикальном направлении.

Таким образом, пренебрегаем сдвиговыми перемещениями и инерцией поворота.

Далее рассмотрим решение задачи методом кинетостатики.

Считаем, что

Усилия, внутренние силовые факторы:

(когда не зависит от времени )

Заменяем полную производную частной:

(тут есть некоторые допущения).

 

 

Силы инерции направлены только вертикально.

Рассмотрим уравнения динамического равновесия:

;

;

.

Замена на корректна: рассматриваем равновесие в фиксированный момент времени.

, здесь - изменение кривизны.

Итак, имеем замкнутую систему уравнений относительно 4х неизвестных: .

Откуда получим:

,

Уравнение изгибных колебаний:

.

Уравнение движения в частных производных.

Для решения зададим 4 краевых условия и 2 начальных условия.

Два краевых условия на одном конце стержня, два краевых условия на другом.

Начальные условия: , ,

.

Рассмотрим частные случаи.

Начнем со свободных (собственных) колебаний.

 

Свободные (собственные) колебания

ОДУ в частных производных

Метод Фурье:

,

(Выражение равно п остоянной, так как слева все зависит от координаты , а справа – от времени ).

Здесь - частота свободных колебаний,

;

;

.

В общем случае это уравнение с переменными коэффициентами.

Предполагаем, что , .

, .

Найдем решение ДУ с постоянными коэффициентами.

, ,

Решения можно скомбинировать не только через экспоненты, но и через тригонометрические и гиперболические функции.

, ;

, .

Через функции Крылова:

;

, ,

, ;

, , ,

, ;

; , т.е. ;

; .

Учёт граничных условий

Рассмотрим частные варианты постановки граничных условий:

1) , ;

2) , , ;

 

 

3) , , ;

4) , , .

Получили систему линейных уравнений относительно констант C2, C4, нас интересует нетривиальное решение. Условие его существования заключается в равенстве нулю определителя:

.

Это уравнение называется частотным. Из него можно найти . Уравнение трансцендентное, имеем бесконечное множество корней с соответствующими частотами:

 

(ноль только при αl = 0)

 

Тогда:

, где .

 

Тогда

 

Нахождение собственных форм

 

Воспользуемся любым из двух нетривиальных уравнений, описывающих граничные условия:

 

 

Найдем соотношения между коэффициентами:

- соответствует -ой собственной форме

- -я координатная функция.

 

Собственная форма определяется с точностью до множителя.

 

Эта координатная функция будет давать форму колебаний.

Подставим функции Крылова:

(т.к. )

с точностью до множителя.

Покажем собственные формы колебаний:

Выполняется теорема об узлах собственных форм

 

Собственных частот и колебаний много, .

Полное решение этой задачи:

Постоянные определяются из заданных начальных условий.

Этот ряд хорошо сходится, можно получить решение, достаточно близкое к точному.

Н.у.:

Находим так же, как и в продольных колебаниях.

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-03-27 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: