Изгибные колебания прямолинейных стержней.
Основные опущения:
Масса единицы длины переменная, зависит от z (как и жесткость).
Внешняя нагрузка только поперечная.
Будем определять координаты, колебания сечений.
Предполагаем, что колебания малые, т.е. 
(прогибы много меньше длины). Малые перемещения, малые углы поворота.
Есть перемещение и в продольном направлении 
. Но, если колебания малые, то - более высокого порядка малости чем 
, то есть 
.
Будем использовать гипотезу плоских сечений, пренебрегая сдвиговыми деформациями.
Есть инерции движения и в продольном, и в поперечном направлении, но инерция « » б.м. более высокого порядка малости, чем « ». В данной постановке задачи инерцией поворота пренебрегаем (для длинных стержней). Инерция только в вертикальном направлении.
Таким образом, пренебрегаем сдвиговыми перемещениями и инерцией поворота.
Далее рассмотрим решение задачи методом кинетостатики.
Считаем, что 
Усилия, внутренние силовые факторы:
(когда 
не зависит от времени 
)
Заменяем полную производную частной:
(тут есть некоторые допущения).
Силы инерции направлены только вертикально.
Рассмотрим уравнения динамического равновесия:
;
;
.
Замена 
на 
корректна: рассматриваем равновесие в фиксированный момент времени.
, здесь 
- изменение кривизны.
Итак, имеем замкнутую систему уравнений относительно 4х неизвестных: 
.
Откуда получим:
, 
Уравнение изгибных колебаний:
.
Уравнение движения в частных производных.
Для решения зададим 4 краевых условия и 2 начальных условия.
Два краевых условия на одном конце стержня, два краевых условия на другом.
Начальные условия: 
, 
,
.
Рассмотрим частные случаи.
|
|
Начнем со свободных (собственных) колебаний.
Свободные (собственные) колебания
ОДУ в частных производных
Метод Фурье:
,
(Выражение равно п 
остоянной, так как слева все зависит от координаты , а справа – от времени ).
Здесь 
- частота свободных колебаний,
;
;
.
В общем случае это уравнение с переменными коэффициентами.
Предполагаем, что 
, 
.
, 
.
Найдем решение ДУ с постоянными коэффициентами.
, 
,
Решения можно скомбинировать не только через экспоненты, но и через тригонометрические и гиперболические функции.
, 
;
, 
.
Через функции Крылова:
;
, 
,
, 
;
, 
, 
, 
, 
;
; 
, т.е. 
;
; 
.
Учёт граничных условий
Рассмотрим частные варианты постановки граничных условий:
1) 
, 
;
2) , 
, 
;
3) 
, 
, 
;
4) , 
, 
.
Получили систему линейных уравнений относительно констант C2, C4, нас интересует нетривиальное решение. Условие его существования заключается в равенстве нулю определителя:
.
Это уравнение называется частотным. Из него можно найти 
. Уравнение трансцендентное, имеем бесконечное множество корней с соответствующими частотами:
(ноль только при αl = 0)
Тогда:
, где 
.
Тогда 
Нахождение собственных форм
Воспользуемся любым из двух нетривиальных уравнений, описывающих граничные условия:
Найдем соотношения между коэффициентами:
- соответствует 
-ой собственной форме
- -я координатная функция.
Собственная форма определяется с точностью до множителя.
Эта координатная функция будет давать форму колебаний.
Подставим функции Крылова:
(т.к. 
)
|
|
с точностью до множителя.
Покажем собственные формы колебаний:
Выполняется теорема об узлах собственных форм
Собственных частот и колебаний 
много, 
.
Полное решение этой задачи:
Постоянные 
определяются из заданных начальных условий.
Этот ряд хорошо сходится, можно получить решение, достаточно близкое к точному.
Н.у.: 
Находим 
так же, как и в продольных колебаниях.