Были взяты 4 базы данных fmtrain, mat1, mat2, mat3, имеющие независимые тестовые наборы, доступные на страничке https://www-ee.uta.edu/eeweb/IP/training_data_files.htm, все задачи представляют задачи регрессии с учителем. Использовались нейросети с одним скрытым слоем и сигмоидной функцией активации, при обучении использовались разные методы оптимизации (градиентный спуск, сопряжённых градиентов, BFGS, модифицированный ParTan) и разные целевые функции (минимум суммы модулей ошибки, минимум среднеквадратичной ошибки, минимум модуля максимальной ошибки). Использовались программные средства NeuroPro 0.25, Deductor Studio. Всего было проанализировано около 1000 нейросетей.
На рисунке представлены графики, для базы данных fmtrain: среднего значения ошибки обобщения (выраженные в процентах доли неправильно решённых примеров в тестовом наборе данных), среднего значения волнового критерия (приведённого к общему масштабу). Вдоль оси ординат отложено число нейронов в скрытом слое нейросети.
Для определения коэффициента корреляции между ошибкой обобщения полученной экспериментальным путём и оценкой ошибки обобщения вычисленной по волновому критерию, было сделано следующее: каждой нейросети (модели) поставлена в соответствие ошибка обобщения, выраженная числом правильно решённых примеров, проведено ранжирование нейросетей по убыванию числа решённых примеров и по возрастанию оценки ошибки обобщения, вычисленной по волновому критерию.
В результате эксперимента определены значения: K - коэффициента корреляции между множествами ранжированных нейросетей, E - ошибки обобщения лучшей нейросети найденной опытным путём, W - ошибки обобщения лучшей нейросети найденной с помощью волнового критерия.
Результаты эксперимента приведены в таблице.
| Нейросети (модели) | К | Е,% | W,% |
| Нейросети базы данных fmtrain | 0,96863 | ||
| Нейросети базы данных mat1 | 0,99666 | ||
| Нейросети базы данных mat2 | 0,99993 | 14,7 | 14,7 |
| Нейросети базы данных mat3 | 0,99794 | 13,7 | 14,7 |
Коллектив нейросетй вида  базы данных fmtrain
| 0,92953 | 4,59 | 4,59 |
| Множество моделей, состоящее из нейросетей и моделей полученных методами параметрической статистики, база данных - отрезок функции y = sin(x) | 0,97912 |
Рис. Зависимость ошибки обобщения (процент неправильно решённых примеров тестового набора данных) от числа нейронов в скрытом слое нейросети (сплошной линией показан результат эксперимента, штриховой линией значения волнового критерия).
Как видно из экспериментальных данных предложенный волновой критерий хорошо соответствует кривой обобщения, предоставляя возможность исключить проверку на тестовом наборе данных и обучать нейросеть на всём доступном наборе данных, не разделяя его на обучающий и тестовый фрагменты.
Заключение
Предложен новый вариант кривой обучения – зависимость значения волнового критерия от обобщающих способностей нейросети (в частности от размера нейросети). Экспериментально показано, что с его помощью возможно достаточно надёжное определение оптимального размера нейросети, обеспечивающего минимум ошибки обобщения.
Также данный критерий может быть применён и для выбора лучшей модели из множества моделей полученных разными методами математической статистики.
Возможность использования данного критерия в качестве целевой функции не исследовалась, но формальных препятствий в этом направлении нет.
Список литературы
Watanabe E., Shimizu H. Relationships between internal representation and generalization ability in multi layered neural network for binary pattern classification problem /Proc. IJCNN 1993, Nagoya, Japan, 1993. Vol.2.-pp.1736-1739.
Cortes C., Jackel L., D., Solla S. A., Vapnik V., Denker J. S.. Learning curves: asymptotic values and rate of convergence / Advances in Neural Information Processing Systems 7 (1994). MIT Press, 1995. – pp. 327-334.
Царегородцев В.Г. Определение оптимального размера нейросети обратного распространения через сопоставление средних значений модулей весов синапсов. /Материалы 14 международной конференции по нейрокибернетике, Ростов-на-Дону, 2005. Т.2. – С.60-64.
Секерин А.Б. Метод оценки устойчивости нейронно-сетевых моделей. / 2005.https://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2005/031.pdf
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта https://www.sciteclibrary.ru