Точность измерений и вычислений.
Любые измерения в естественных науках производятся с некоторой точностью. Так, используя различные методы измерений, расстояние »1км можно определить с точностью до 10м, до 1м, до 10см... В любом случае точность не будет абсолютной. Представляя результат, принято указывать не только саму величину, но и погрешность, с которой она получена: S=1км±10м. или S=1000±10 м.
Кроме абсолютной погрешности, которую обычно обозначают Dх, часто используется относительная погрешность dх=Dх/х. В приведенном выше примере относительная погрешность равна 10м / 1000м = 0.01 = 1%. Отметим, что относительная погрешности – безразмерная величина. Вместо слова «погрешность» часто используется термин «ошибка». Наличие «ошибок» не указывает на промахи экспериментатора, а лишь свидетельствует о конечной точности эксперимента.
В социальных науках также необходимо знать достоверность, с которой сделаны выводы. Например, если в результате опроса в городе А из 10 человек 5 ответили, что поддерживают реформы, а в городе Б – 6 человек из 10, то нет оснований для вывода, что в городах А и Б люди относятся к реформам по-разному. Более правильно говорить, что от 40% до 70% населения городов А и Б поддерживают реформы.
Несмотря на богатые возможности компьютера как вычислительного средства, в численных расчетах на компьютере также присутствуют погрешности. Как правило, они связаны с тем, что действительные числа, представляющие собой бесконечные десятичные дроби, хранятся в памяти компьютера в виде конечных дробей. Для примера оценим, с какой точностью хранится в компьютере действительное число, если под него отводится ячейка размером 4 байта.
Чтобы можно было записывать в одной и той же ячейке как маленькие числа (0.0001), так и большие (1.5´1012), действительные числа хранятся в виде a´10b. В этом случае 1 байт из 4-х можно отвести под порядок (величина b), из оставшихся 24 бит 1 бит будет содержать знак числа, а 23 бита – мантиссу (число а). Т.к. 28=256, то байт порядка может иметь 256 различных состояний. Значит, с учетом знака, число b будет принимать значения в интервале от -127 до 127. Т.к. 223»107, то числа, лежащие в интервале от 0 до 1, могут храниться с точностью до 7 знаков после запятой. Важно то, что в описанном представлении относительная точность (d£10-7) не зависит от величины хранимого в памяти числа.
Несмотря на то, что точность 7 знаков после запятой воспринимается как очень хорошая точность, в некоторых случаях ее недостаточно. Прежде всего, это относится к задачам, в которых требуется суммировать большое количество величин, в частности, к численному интегрированию. Например, точность, полученная в результате суммирования 104 слагаемых, составит всего лишь 3 знака после запятой. В подобных случаях следует использовать ячейки памяти большего размера или применять численные методы решения задачи, использующие меньшее число арифметических операций.
Ошибки в случае сложных измерений.
Для доказательства тех формул, которые будут получены ниже, удобно считать, что величина ошибки Dх означает, что максимальное возможное значение измеряемой величины будет равно х+Dх, а минимальное возможное значение равно х-Dх.
Погрешность суммы и разности. Если есть две измеренные величины x±Dх и y±Dy, то максимально возможное значение их суммы z=x+y равно zmax=x+y+Dх+Dy, минимальное значение zmin= x+y-Dх-Dy. Значит, погрешность величины суммы равна Dz=Dх+Dy. Поскольку для величины разности z=x-y максимальное значение достигается в случае наибольшего уменьшаемого и наименьшего вычитаемого, значит, как и для суммы, zmax=x+y+Dх+Dy. Аналогично, zmin= x+y-Dх-Dy. Поэтому погрешность разности равна сумме погрешностей: Dz=Dх+Dy.
Погрешность произведения. Для рассмотрения погрешности произведения z=xy заметим, что максимальное значение произведения (если сомножители неотрицательны) равно zmax=(x+Dх)(y+Dy). Каждый из сомножителей в скобках представим в виде
xmax=x+Dх=x(1+Dx/x)=x(1+dx) ymax=y+Dy=y(1+Dy/y)=y(1+dy)
тогда, раскрывая скобки, получим: zmax=xy(1+dx) (1+dy)=xy(1+dx+dx+dxdy) » xy(1+dx+dy)
(Мы воспользовались тем, что в случае малых относительных ошибок их произведение dxdy значительно меньше каждой из них). Сравнивая записи для xmax и zmax, приходим к выводу, что в случае произведения относительные погрешности складываются. dz=dx+dy. Аналогично можно доказать справедливость этой же формулы для частного z=x/y.
Погрешность косвенных измерений. (результат получается из измеренной величины по формуле y=f(x)). Этот случай лучше всего рассмотреть графически.
Как видно из рисунка, максимальное и минимальное возможные значения равны f(x+Dx), f(x-Dx). При малых погрешностях можно заменить функцию вблизи рассматриваемой точки х касательной. Тангенс ее наклона определяет величину Dy из показанного на рисунке треугольника: Dy=Dх tg a. Так как тангенс угла наклона касательной равен производной функции y(x), то можно записать 
, где 
- обозначение производной. Модуль позволяет рассматривать как возрастающие, так и убывающие функции.
Если результат вычисляется по формуле, в которую входит несколько непосредственно измеренных величин, то можно провести аналогичные рассуждения, используя понятие функции нескольких переменных. 
, где использованы так называемые частные производные – производные функции нескольких переменных по одной из них, в то время как другие переменные заменены числовыми значениями. Это применимо в случае независимых измеряемых величин. Кроме того, в случае независимых х и у правомерно заменить сумму модулей квадратичной суммой (дающей несколько меньшее значение):
Это и есть основная формула для вычисления погрешностей в случае косвенных измерений. Число измеряемых величин в этой формуле может быть любым. Формулы для погрешностей суммы, разности, произведения и частного следуют из этой формулы (если не использовать квадратичное суммирование) как частные случаи.
ПРИМЕР: Определяется плотность вещества, из которого сделан кубик. В результате измерений известно, что ребро равно 10±0.1см, масса равна 800±10г. Плотность вычисляется по формуле: 
. Тогда, взяв производные, получим формулу для погрешности: 
. Подставив значения, получаем
r=0.8г/см3, 
г/см3