Голоморфные (аналитические) функции
Предварительно следует прочитать п.. из [1].
Пусть G и D – области на комплексной плоскости и – отображение из в (). Говорят, что функция дифференцируема в точке , если существует число такое, что приращение функции можно представить в виде
для всех из некоторой окрестности точки , где бесконечно малая функция имеет в точке более высокий порядка малости, чем , то есть . Если дифференцируема в точке , то, как и в случае функций действительного переменного, является производной функции в точке и .
Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Коши-Римана
Говорят, что функция голоморфная (аналитическая) в точке , если она дифференцируема в точке и в некоторой окрестности точки и производная непрерывна в точке .
Модуль производной есть коэффициент линейного растяжения при отображении в точке , а аргумент производной равен углу поворота при отображении любого направления исходящего из точки .
Функция называется гармонической, если она удовлетворяет уравнению Лапласа . Действительная и мнимая части голоморфной (аналитической) функции являются гармоническими функциями.
1.4.1. Выяснить, где голоморфна функция .
Так как , , то получаем , , , . Условия Коши-Римана выполнены во всех точках комплексной плоскости, поэтому функция аналитическая (голоморфная) во всей комплексной плоскости.
1.4.2. Выяснить, где голоморфна функция .
Так как , , то получаем , , , . Условия Коши-Римана не выполнены ни в одной точке комплексной плоскости, поэтому функция не является аналитической (голоморфной) ни в одной точке комплексной плоскости.
1.4.3. Какая часть комплексной плоскости сжимается и какая растягивается при отображении ?
Плоскость растягивается, когда коэффициент линейного растяжения больше единицы и сжимается, когда этот коэффициент больше нуля и меньше единицы. Коэффициент линейного растяжения функции имеющей производную равен модулю производной. Так как , то . Следовательно, точки в которых плоскость растягивается, удовлетворяют неравенству , откуда получаем , или, что тоже самое, . Аналогично показывается, что плоскость сжимается при .
1.4.4. Для отображения найти точки, в которых коэффициент линейного растяжения равен 0.
Имеем , . Следовательно , откуда получаем . (Физический смысл).
1.4.5. Для отображения найти точки, в которых угол поворота равен 0.
Так как , то
Приравнивая аргумент к нулю, получаем . Поэтому угол поворота любого направления равен нулю на оси
1.4.6. Восстановить голоморфную (аналитическую) функцию, если
а) .
Проверяем, является ли гармонической функцией. Имеем , , , . Поэтому . Следовательно, функция не является гармонической и не может быть действительной частью голоморфной (аналитической) функции.
б) .
Проверяем, является ли гармонической функцией. Имеем , , , . Поэтому . Следовательно, функция гармоническая и может быть действительной частью голоморфной (аналитической) функции.
Далее, . Используя условия Коши-Римана, можем это соотношение переписать в виде . Так как криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования, то получаем, с точностью до константы, . Таким образом,
.