Информатика и ИКТ (2 курс). Раздел 6. Информационное моделирование

Информатика и ИКТ (2 курс)

Урок 37(94)

Дата: 6.05.2020

Раздел 6. Информационное моделирование

Тема 6.5 Модели оптимального планирования.

Тема урока: Модели оптимального планирования. Математическое программирование(20)

Цели урока:

Образовательные:

ü способствовать углублению представлений студентов об моделях оптимального планирования;

ü закрепить понятие основные математические функции, встроенные в электронные таблицы;

ü способствовать формированию умения формализовать задачи для их решения с использованием электронных таблиц, графически представлять конечные результаты вычислений

ü производить вычисления в среде электронных таблиц;

ü овладевать методикой научного исследования и применять исследовательские знания в практической деятельности;

ü овладение практическими способами работы с информацией, её преломление в научной деятельности;

ü расширять связи с другими учебными предметами.

Оборудование: пар.20 учебник Информатика 11 кл./И.Г.Семакин, Е.К.Хеннер,Т.Ю.Шеина 5-е издание, 2015г,

 

Ход урока:

Актуализация опорных знаний

- Что такое ячейка? (Ячейкой называют область, определяемую пересечением столбца и строки электронной таблицы.)

- Что такое диапазон ячеек? (Диапазоном ячеек называют любую выделенную прямоугольную часть электронной таб­лицы.)

- Можно ли использовать операции, применимые к ячейке, в диапазоне ячеек? (Все, что касается возможностей форматирования одинаково применимо как к ячейкам, так и к диапазонами ячейки. Только вводить данные мы можем конкретно в ячейки, одновременный ввод данных в диапазон ячеек невозможен.)

- Чем отличаются зависимые поля от независимых? (Зависи­мые и независимые поля содержат данные разного типа. Независимые содержат числовые или символьные данные, используемые для расчетов, а зависимые - формулы, в ко­торых производятся расчеты.)

- Почему различают данные по категории «текст» и «число»? (Числами можно оперировать и использовать в формулах для расчетов. Текст используется только в функциях сравнения и пояснения полученных результатов.)

- Чем отличаются данные, внедренные в ячейки, от объектов? (Такими данными невозможно воспользоваться в расчетных формулах.)

Объяснение нового материала

Проблема, к обсуждению которой мы теперь переходим, назы­вается оптимальным планированием. Объектами планирования могут быть самые разные системы: деятельность отдельного пред­приятия, отрасли промышленности или сельского хозяйства, ре­гиона, наконец государства. Постановка задачи планирования вы­глядит следующим образом:

• имеются некоторые плановые показатели: X, У, и др.;

• имеются некоторые ресурсы: Rl, R2 и др., за счет которых эти плановые показатели могут быть достигнуты. Эти ре­сурсы практически всегда ограничены;

• имеется определенная стратегическая цель, зависящая от значений X, У и др. плановых показателей, на которую сле­дует ориентировать планирование.

Нужно определить значение плановых показателей с уче­том ограниченности ресурсов при условии достижения страте­гической цели. Это и будет оптимальным планом.

Приведем примеры. Пусть объектом планирования является детский сад. Ограничимся лишь двумя плановыми показателями: количеством детей и количеством воспитателей. Основными ре­сурсами деятельности детского сада являются объем финансиро­вания и площади помещения. А каковы стратегические цели?

Естественно, одной из них является сохранение и укрепление здо­ровья детей. Количественной мерой такой цели является миними­зация заболеваемости воспитанников детского сада.

Другой пример: планирование экономической деятельности государства. Безусловно, это слишком сложная задача для того, чтобы нам с ней полностью разобраться. Плановых показателей очень много: это производство различных видов промышленной и сельскохозяйственной продукции, подготовка специалистов, вы­работка электроэнергии, размер зарплаты работников бюджетной сферы и многое другое. К ресурсам относятся: количество рабо­тоспособного населения, бюджет государства, природные ресурсы, энергетика, возможности транспортных систем и пр. Как вы по­нимаете, каждый из этих видов ресурсов ограничен. Кроме того, важнейшим ресурсом является время, отведенное на выполнение плана. Вопрос о стратегических целях довольно сложный. У госу­дарства их много, но в разные периоды истории приоритеты це­лей могут меняться. Например, в военное время главной целью является максимальная обороноспособность, военная мощь стра­ны. В мирное время в современном цивилизованном государстве приоритетной целью должно быть достижение максимального уровня жизни населения.

Если мы хотим использовать компьютер для решения задачи оптимального планирования, то нам снова нужно построить ма­тематическую модель. Следовательно, всё, о чем говорилось в примерах, должно быть переведено на язык чисел, формул, урав­нений и других средств математики. В полном объеме для реаль­ных систем эта задача очень сложная. Как и раньше, мы пойдем по пути упрощения. Рассмотрим очень простой пример, из кото­рого вы получите представление об одном из подходов к решению задачи оптимального планирования.

Пример. Школьный кондитерский цех готовит пирожки и пи­рожные. В силу ограниченности емкости склада за день можно приготовить в совокупности не более 700 штук изделий. Рабочий день в кондитерском цехе длится 8 часов. Производство пирож­ных более трудоемко, поэтому если выпускать только их, за день можно произвести не более 250 штук, пирожков же можно произ­вести 1000 штук (если при этом не выпускать пирожных). Стои­мость пирожного вдвое выше, чем стоимость пирожка. Требуется составить такой дневной план производства, чтобы обеспечить на­ибольшую выручку кондитерского цеха.

Разумеется, это чисто учебный пример. Вряд ли существует такой кондитерский цех, который выпускает всего два вида про­дукции, да и наибольшая выручка — не единственная цель его работы. Но зато математически формулировка задачи будет про­стой. Давайте ее выработаем.

Плановыми показателями являются:

• х — дневной план выпуска пирожков;

• у — дневной план выпуска пирожных.

Что в этом примере можно назвать ресурсами производства? Из того, о чем говорится в условии задачи, это:

• длительность рабочего дня — 8 часов;

• вместимость складского помещения — 700 мест.

Предполагается для простоты, что другие ресурсы (сырье,

электроэнергия и пр.) не ограничены. Формализацию цели (до­стижение максимальной выручки цеха) мы обсудим позже.

Получим соотношения, следующие из условий ограниченнос­ти времени работы цеха и вместимости склада, т. е. суммарного числа изделий.

Из постановки задачи следует, что на изготовление одного пи­рожного затрачивается в 4 раза больше времени, чем на выпечку одного пирожка. Если обозначить время изготовления пирожка как t мин, то время изготовления пирожного будет равно 41 мин. Значит, суммарное время на изготовление х пирожков и у пирож­ных равно

Но это время не может быть больше длительности рабочего дня. Отсюда следует неравенство:

 

Легко посчитать t — время изготовления одного пирожка. Поскольку за рабочий день их может быть изготовлено 1000 штук, на один пирожок тратится 480/1000 = 0,48 миц. Подстав­ляя это значение в неравенство, получим:

Отсюда:

Ограничение на общее число изделий дает совершенно очевид­ное неравенство:

К двум полученным неравенствам следует добавить условия положительности значений величин х и у (не может быть отрица­тельного числа пирожков и пирожных). В итоге получим систему неравенств:

 

(1)

 

 

А теперь перейдем к формализации стратегической цели: по­лучению максимальной выручки. Выручка — это стоимость всей проданной продукции. Пусть цена одного пирожка — г рублей. По условию задачи, цена пирожного в два раза больше, т. е. 2г рублей. Отсюда стоимость всей произведенной за день продукции равна

Целью производства является получение максимальной вы­ручки. Будем рассматривать записанное выражение как функцию от х, у:

Она называется целевой функцией.

Поскольку значение г — константа, максимальное значение F(x, у) будет достигнуто при максимальной величине выражения (х + 2у). Поэтому в качестве целевой функции можно принять

(2)

 

Следовательно, получение оптимального плана свелось к сле­дующей математической задаче:

Требуется найти значения плановых показателей х и у, удовлетворяющих данной системе неравенств (1) и придающих максимальное значение целевой функции (2).

Итак, математическая модель задачи оптимального планиро­вания для школьного кондитерского цеха построена.

Теперь следующий вопрос: как решить эту задачу? Вы уже до­гадываетесь, что решать ее за нас будет компьютер с помощью табличного процессора Excel. А мы обсудим лишь подход к реше­нию, не вникая в подробности метода.

Математическая дисциплина, которая посвящена решению таких задач, называется математическим программированием. А поскольку в целевую функцию f(x, у) величины х и у входят линейно (т. е. в первой степени), наша задача относится к разде­лу этой науки, который называется линейным программирова­нием.

Система написанных выше неравенств представляется на ко­ординатной плоскости четырехугольником, ограниченным че­тырьмя прямыми, соответствующими линейным уравнениям:

 

На рис. 3.10 эта область представляет собой четырехугольник ABCD и выделена заливкой. Любая точка четырехугольника яв­ляется решением системы неравенств (1). Например, х — 200, у = 100. Этой точке соответствует значение целевой функции

 

 

Рис. 3.10. Область поиска оптимального плана

 

f(200, 100) = 400. А другой точке (х = 600, у = 50) соответствует /(600, 50) = 700. Но, очевидно, искомым решением является та точка области ABCD, в которой целевая функция максимальна. Нахождение этой точки производится с помощью методов линей­ного программирования.

В математическом арсенале Excel имеется средство Поиск ре­шения. Как решать данную задачу с помощью этого средства, вы узнаете из компьютерного практикума.

В результате решения задачи получается следующий опти­мальный план дневного производства кондитерского цеха: нужно выпускать 600 пирожков и 100 пирожных. Эти плановые показа­тели соответствуют координатам точки В на рис. 3.10. В этой точ­ке значение целевой функции /(600, 100) = 800. Если один пиро­жок стоит 5 рублей, то полученная выручка составит 4000 руб­лей.

Закрепление материала

 

1. а) В чем состоит задача оптимального планирования?

б) Что такое плановые показатели, ресурсы, стратегическая цель? При­ведите примеры.

2. а) Попробуйте сформулировать содержание оптимального планирова­ния для своей учебной деятельности.

б) Что такое математическое программирование, линейное программи­рование?

3. а) Сформулируйте задачу оптимального планирования для школьного кондитерского цеха, в котором выпускается три вида продукции: пи­рожки, пирожные и коржики.

б) Внесите изменение в постановку задачи оптимального планирования из этого параграфа для двух видов продукции с учетом еще одного огра­ничения: число пирожных должно быть не меньше числа пирожков. На координатной плоскости постройте область поиска решения.